A pi irracionális voltának bizonyítása

A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja.

Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális. A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális.

A bizonyításhoz két lemma tartozik:

1. lemma: legyen ${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{\displaystyle b_{1}+{\frac {a_{2}}{\displaystyle b_{2}+{\frac {a_{3}}{\displaystyle b_{3}+{\frac {a_{4}}{b_{4}+\cdots }}}}}}}},}$ ahol ${\displaystyle a_{i}}$ és ${\displaystyle b_{i}}$ relatív prímek. Ekkor, ha véges kivétellel ${\displaystyle |a_{i}|<|b_{i}|}$, akkor ${\displaystyle x}$ irracionális.

2. lemma: ${\displaystyle x}$ tangensének lánctört alakja: ${\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{7-\cdots }}}}}}}},}$

Feltehető, hogy már az ${\displaystyle i=1}$ értéktől kezdve ${\displaystyle |a_{i}|<|b_{i}|}$, kivételek nincsenek. Ekkor minden pozitív egész ${\displaystyle i}$-re ${\displaystyle b_{i}-1<b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}<b_{i}+1}$, és mivel az ${\displaystyle a_{i}}$ és ${\displaystyle b_{i}}$ egészek különbsége legalább 1, ezért ${\displaystyle \left|b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}\right|>|a_{i}|}$. Mivel az ${\displaystyle {\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}}$ érték feltevésünk szerint egynél kisebb, ezért nem tudja megváltoztatni az egész számok előjelét.

Az előjel nem változott, ennélfogva ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{\displaystyle b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{\displaystyle b_{i+1}}}}}}$ előjele megegyezik ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$ előjelével. Hasonlóan kaphatjuk, hogy ${\displaystyle {\frac {a_{i-1}}{\displaystyle b_{i-1}+{\frac {a_{i}}{\displaystyle b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{\displaystyle b_{i+1}}}}}}}}$ előjele is megegyezik ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}}}}$ előjelével, és abszolútértéke egynél kisebb. Leszálló rekurzióval (ismertebb néven: végtelen leszállással) beláthatjuk, hogy ${\displaystyle x}$ előjele is ugyanez, és abszolútértéke nem lehet egynél nagyobb.

Az ${\displaystyle |x|=1}$ eseteket könnyen átvizsgálhatjuk. Ha ${\displaystyle |x|<1}$, akkor tegyük fel indirekt, hogy ${\displaystyle x}$ racionális:

${\displaystyle x={\frac {p}{q}}={\frac {a_{1}}{b_{1}+p_{1}}}}$,

ahonnan ${\displaystyle p_{1}={\frac {qa_{1}-pb_{1}}{p}}={\frac {r}{p}}}$. A ${\displaystyle p_{1}}$ szám olyan, mint a fenti ${\displaystyle x}$, tehát egynél kisebb abszolútértékű, és ${\displaystyle |r|<|p|}$. Ezt ismételve törtek végtelen sorozatához jutunk, ahol a számlálók abszolútértékben csökkenő egészek, ami ellentmondás.

A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:

${\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}}={\frac {x}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}}.}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{1+R_{1}}},}$ ahol ${\displaystyle R_{1}=-x^{2}{\frac {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2nx^{2n-2}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}={\frac {-x^{2}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+2)x^{2n}}{(2n+3)!}}}}}}$

és hasonlóan írhatjuk, hogy ${\displaystyle R_{1}={-x^{2}}{3+R_{2}}.}$ Ezt folytatva kapjuk, hogy ${\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{\cdots -{\frac {x^{2}}{2k-1+R_{k}}}}}}}}}}},}$

a rekurziót feloldva

${\displaystyle R_{k}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k)x^{2n+2}}{(2n+2k+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k-2)x^{2n}}{(2n+2k-1)!}}}}}$

Innen már következik, hogy

${\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{7-\cdots }}}}}}}},}$

Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.

A ${\displaystyle \mathrm {tg} {\frac {\pi }{4}}=1}$ helyett használhatjuk a ${\displaystyle \mathrm {tg} {\pi }=0}$-t Legendre nyomán:

${\displaystyle {\displaystyle 1-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}}}=\infty }$

${\displaystyle {\displaystyle 3-{\frac {\pi ^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {3}{\pi ^{2}}}={\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle 5-{\frac {\pi ^{2}}{7-\cdots }}}}}=0}$

${\displaystyle k=5}$-től kezdve ${\displaystyle (2k+1)>\pi ^{2}}$, tehát az első lemmával kapjuk, hogy ${\displaystyle \pi ^{2}}$, így ${\displaystyle \pi }$ is irracionális.

• Lambert bizonyítása