2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (1960) Romániában, Szinajában rendezték. Öt ország negyven versenyzője vett részt rajta. Magyarország két arany-, két ezüstérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2-3. lett az országok között.
(Az elérhető maximális pontszám: 8×45=360 pont volt)

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

Milyen valós ${\displaystyle x}$-ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

${\displaystyle {\frac {4x^{2}}{(1-{\sqrt {1+2x}})^{2}}}<2x+9}$.

Az ${\displaystyle ABC}$ derékszögű háromszög ${\displaystyle a}$ hosszú ${\displaystyle BC}$ átfogóját ${\displaystyle n}$ egyenlő szakaszra osztottuk (${\displaystyle n}$ páratlan pozitív egész). Jelöljük ${\displaystyle \alpha }$-val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik ${\displaystyle A}$-ból. Legyen ${\displaystyle h}$ az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

${\displaystyle {\mbox{tg }}\alpha ={\frac {4nh}{(n^{2}-1)a}}}$.

Adott az ${\displaystyle ABC}$ háromszög ${\displaystyle A}$-ból és ${\displaystyle B}$-ből induló ${\displaystyle m_{a}}$ ill. ${\displaystyle m_{b}}$ magassága és az ${\displaystyle A}$-ból induló ${\displaystyle s_{a}}$ súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

Vegyük az ${\displaystyle ABCDA'B'C'D'}$ kockát (ahol ${\displaystyle A'B'C'D'}$ pontosan ${\displaystyle ABCD}$ fölött van).

${\displaystyle a)}$ Mi a mértani helye az ${\displaystyle XY}$ szakaszok felezőpontjainak, ahol ${\displaystyle X}$ az ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle Y}$ pedig a ${\displaystyle B'D'}$ lapátló tetszőleges pontja?

${\displaystyle b)}$ Mi a mértani helye azon ${\displaystyle Z}$ pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen ${\displaystyle XY}$ szakaszon úgy, hogy ${\displaystyle ZY=2XZ}$?

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen ${\displaystyle V_{1}}$ a kúp, ${\displaystyle V_{2}}$ a henger térfogata.

${\displaystyle a)}$ Bizonyítsuk be, hogy ${\displaystyle V_{1}\neq V_{2}}$.

${\displaystyle b)}$ Keressük meg a legkisebb ${\displaystyle k}$-t, amire ${\displaystyle V_{1}=kV_{2}}$, majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet ${\displaystyle k}$ minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja ${\displaystyle a}$ illetve ${\displaystyle c}$, magassága pedig ${\displaystyle m}$.

${\displaystyle a)}$ Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon ${\displaystyle P}$ pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.

${\displaystyle b)}$ Számítsuk ki ${\displaystyle P}$ távolságát a száraktól.

${\displaystyle c)}$ Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen ${\displaystyle P}$ pont?

	Ország	Pont				D
1.	Csehszlovákia	257	1	1	2	2
2.	Magyarország	248	2	2	0	1
	Románia	248	1	1	1	1
4.	Bulgária	175	0	0	1	2
5.	NDK	38	0	0	0	1

D – dicséret

A magyar csapat tagjai voltak:

Név	Évfolyam	Iskola	Város	Díj
Bollobás Béla	III. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimn.	Budapest
Mezei Ferenc	IV. o.	II. Rákóczi Ferenc Gimn.	Budapest
Fritz József	III. o.	Kossuth Lajos Gimn.	Mosonmagyaróvár
Muszély György	IV. o.	Vörösmarty Mihály Gimn.	Budapest
Komlós János	IV. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimn.	Budapest	dicséret
Gagyi Pálffy András	III. o.	Széchenyi István Gimn.	Budapest
Grűner György	III. o.	Kossuth Lajos Gimn.	Mosonmagyaróvár
Hahn János	IV. o.	Gépipari Technikum	Szeged

A csapat vezetője Hódi Endre volt.

Reiman István – Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003 Typotex 2003, Budapest (ISBN 963-9548-04-9)

• Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
• Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák listája
• A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák magyar versenyzői

• Az IMO hivatalos honlapja