2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (1960) Romániában, Szinajában rendezték. Öt ország negyven versenyzője vett részt rajta. Magyarország két arany-, két ezüstérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2-3. lett az országok között.
(Az elérhető maximális pontszám: 8×45=360 pont volt)
Feladatok
1.
Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.
2.
Milyen valós -ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:
- .
3.
Az derékszögű háromszög hosszú átfogóját egyenlő szakaszra osztottuk ( páratlan pozitív egész). Jelöljük -val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik -ból. Legyen az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy
- .
4.
Adott az háromszög -ból és -ből induló ill. magassága és az -ból induló súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.
5.
Vegyük az kockát (ahol pontosan fölött van).
- Mi a mértani helye az szakaszok felezőpontjainak, ahol az , pedig a lapátló tetszőleges pontja?
- Mi a mértani helye azon pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen szakaszon úgy, hogy ?
6.
Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen a kúp, a henger térfogata.
- Bizonyítsuk be, hogy .
- Keressük meg a legkisebb -t, amire , majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.
7.
Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja illetve , magassága pedig .
- Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.
- Számítsuk ki távolságát a száraktól.
- Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen pont?
Országok eredményei pont szerint
Ország | Pont | ![]() | ![]() | ![]() | D | |
---|---|---|---|---|---|---|
1. | ![]() | 257 | 1 | 1 | 2 | 2 |
2. | ![]() | 248 | 2 | 2 | 0 | 1 |
![]() | 248 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
4. | ![]() | 175 | 0 | 0 | 1 | 2 |
5. | ![]() | 38 | 0 | 0 | 0 | 1 |
- D – dicséret
A magyar csapat
A magyar csapat tagjai voltak:
Név | Évfolyam | Iskola | Város | Díj |
---|---|---|---|---|
Bollobás Béla | III. o. | Apáczai Csere János Gyakorlógimn. | Budapest | ![]() |
Mezei Ferenc | IV. o. | II. Rákóczi Ferenc Gimn. | Budapest | ![]() |
Fritz József | III. o. | Kossuth Lajos Gimn. | Mosonmagyaróvár | ![]() |
Muszély György | IV. o. | Vörösmarty Mihály Gimn. | Budapest | ![]() |
Komlós János | IV. o. | Apáczai Csere János Gyakorlógimn. | Budapest | dicséret |
Gagyi Pálffy András | III. o. | Széchenyi István Gimn. | Budapest | |
Grűner György | III. o. | Kossuth Lajos Gimn. | Mosonmagyaróvár | |
Hahn János | IV. o. | Gépipari Technikum | Szeged |
A csapat vezetője Hódi Endre volt.
Források
Reiman István – Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003 Typotex 2003, Budapest (ISBN 963-9548-04-9)
Kapcsolódó szócikkek
- Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
- Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák listája
- A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák magyar versenyzői
További információk
- Az IMO hivatalos honlapja