Ív (geometria)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Circle_arc.svg/300px-Circle_arc.svg.png)
Az euklideszi geometriában az ív (jele: ⌒) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.
Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint radián.
Körív
Körív hossza
Egy kör ívének hossza (pontosabban ívhossza) megadható az ív θ középponti szögének (radiánban mérve) és az r hosszúságú szögszárak (sugarak) által bezárt szög szorzataként:
- .
Ez abból az aránypárból következik, hogy
- .
A kerületet és a teljes szög behelyettesítve azt kapjuk, hogy
- .
ezt átrendezve kapjuk a fenti egyenlőséget.
Ha a szöget nem radiánban mérjük, hanem fokban, akkor a harmadik egyenlet a következő alakú lesz:
.
ezt átrendezve kapjuk, hogy
- .
Példa
Ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor
Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.
Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:
Ekkor az ívhossz -tól -ig
Ívhez tartozó körcikk területe
Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):
Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:
-vel egyszerűsítve:
-tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:
A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe
Ívhez tartozó körszelet területe
Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe
Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.
Ívhez tartozó sugár
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Circle_with_some_chords.jpg/220px-Circle_with_some_chords.jpg)
A húrtétel (más néven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:
Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza . Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része, . A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy
amiből
így
Parabolaív
A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület):
![]() | Bővebben: Parabola (görbe) |
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Arc (geometry) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.