Vitesse quadratique moyenne

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La vitesse quadratique moyenne est la moyenne quadratique des vitesses d'un ensemble de particules (molécules, ions, etc.). Elle s'obtient en calculant la racine carrée de la moyenne des carrés des vitesses :

${\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$

Selon la théorie cinétique des gaz, la vitesse des molécules d'un gaz parfait suit la loi de distribution des vitesses de Maxwell, dont la densité de probabilité est :

${\displaystyle f(v)=\left({m \over 2\pi k_{\mathrm {B} }T}\right)^{3/2}4\pi \,v^{2}\,{\rm {e}}^{-{mv^{2} \over 2k_{\text{B}}T}}}$

avec :

• ${\displaystyle m}$ la masse d'une molécule ;
• ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ la constante de Boltzmann ;
• ${\displaystyle T}$ la température absolue.

On a par conséquent la moyenne des carrés des vitesses :

${\displaystyle \langle v^{2}\rangle =\int _{0}^{+\infty }v^{2}f(v)\,\mathrm {d} v={3k_{\text{B}}T \over m}}$

et finalement la vitesse quadratique moyenne :

${\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {3k_{\text{B}}T \over m}}}$

ou, de façon équivalente :

${\displaystyle {\hat {v}}={\sqrt {3RT \over M}}}$

avec :

• ${\displaystyle N_{\text{A}}}$ le nombre d'Avogadro ;
• ${\displaystyle R=k_{\text{B}}N_{\text{A}}}$ la constante universelle des gaz parfaits ;
• ${\displaystyle M=mN_{\text{A}}}$ la masse molaire.

Par exemple pour l'air (${\displaystyle M}$ = 28,965 g mol⁻¹) à 20 °C, on obtient ${\displaystyle {\hat {v}}}$ = 502,4 m s⁻¹.

• Peter William Atkins, Loretta Jones et Leroy Laverman (trad. de l'anglais par André Pousse), Principes de chimie [« Chemical Principles »], De Boeck Supérieur, 2017, 4^e éd., 1088 p. (ISBN 9782807306387, lire en ligne), p. 175.

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