Variété de Whitehead

En mathématiques, la variété de Whitehead est une 3-variété ouverte contractile, mais non homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . J. H. C. Whitehead (1935) a découvert cet objet déroutant alors qu'il tentait de prouver la conjecture de Poincaré, corrigeant une erreur dans un de ses précédents articles (Whitehead (1934)) dans lequel il affirmait à tort qu'il n'en existait pas.

Une variété contractile est une variété qui peut être réduite en un point situé à l'intérieur de la variété elle-même. Par exemple, une boule ouverte est une variété contractible. Toutes les variétés homéomorphes de la balle sont également contractiles. On peut se demander si toutes les variétés contractiles sont homéomorphes à une balle. Pour les dimensions 1 et 2, la réponse est classique et c'est "oui". En dimension 2, il découle, par exemple, du théorème de mappage de Riemann. La dimension 3 présente le premier contre-exemple : la variété Whitehead^[1].

Prenez une copie de ${\displaystyle S^{3}}$. Prenez un tore solide (plein) compact sans nœud ${\displaystyle T_{1}}$ dans la sphère. Le complément fermé de ${\displaystyle T_{1}}$est un autre tore.

Prenez maintenant un second tore solide ${\displaystyle T_{2}}$ dans ${\displaystyle T_{1}}$ tel que ${\displaystyle T_{2}}$ et un voisinage tubulaire de la courbe méridienne de ${\displaystyle T_{1}}$est un lien Whitehead épaissi.

Maintenant, construisez ${\displaystyle T_{3}}$ dans ${\displaystyle T_{2}}$ de la même manière que ${\displaystyle T_{2}}$ a été construit dans ${\displaystyle T_{1}}$, et ainsi de suite indéfiniment. définissez W, le continuum de Whitehead , comme étant ${\displaystyle W=T_{\infty }}$, ou plus précisément l'intersection de tous les ${\displaystyle T_{k}}$ pour ${\displaystyle k=1,2,3,\dots }$.

La variété de Withehead est définie comme ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W}$, ce qui est une variété non compacte dans frontières.

Remarque : analyse impliquant les résultats de Morton Brown montre que ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}}$. Cependant, X n'est pas homéomorphique à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Cela vient du fait qu'elle ne soit pas simplement liée à l'infini.

La compactification en un point de X est l'espace ${\displaystyle S^{3}/W}$ (avec W contracté en un point). Ce n'est pas une variété. Cependant, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3}/W)\times \mathbb {R} }$ est homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ .

David Gabai a montré que X est l’union de deux copies de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dont l'intersection est aussi homéomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[1] .

D'autres exemples de 3-variétés ouvertes et contractiles peuvent être construites en procédant de manière similaire et en choisissant différentes inclusions de ${\displaystyle T_{i+1}}$ dans ${\displaystyle T_{i}}$ durant le processus itératif. Chaque inclusion doit être un tore solide sans nœud dans la 3-sphère. La propriété essentielle est que la méridienne de ${\displaystyle T_{i}}$ doit être nulle-homotopique dans le complément de ${\displaystyle T_{i+1}}$, et en supplément, la longitude de ${\displaystyle T_{i+1}}$ ne doit pa être nulle-homotopique dans ${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}}$. Une autre variation est de choisir plusieurs sous-tores ià chaque étape au lieu d'en choisir un seul.

• Kirby, Robion, The topology of 4-manifolds, Lecture Notes in Mathematics, no. 1374, Springer-Verlag, 1989 (ISBN 978-0-387-51148-1)
• Rolfsen, Dale (2003), "Section 3.J.8.", Knots and links, AMS Chelsea Publishing, p. 82, (ISBN 978-0821834367)
• Whitehead, J. H. C. (1934), "Certain theorems about three-dimensional manifolds (I)", Quarterly Journal of Mathematics, 5 (1): 308–320, Bibcode:1934QJMat...5..308W, doi:10.1093/qmath/os-5.1.308
• Whitehead, J. H. C. (1935), "A certain open manifold whose group is unity", Quarterly Journal of Mathematics, 6 (1): 268–279, Bibcode:1935QJMat...6..268W, doi:10.1093/qmath/os-6.1.268

• Portail des mathématiques