Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction en analyse complexe, dont l'importance est notable en théorie des nombres. Elle est nommée d'après le mathématicien Bernhard Riemann et on la note souvent ζ(s). Pour un sréel supérieur à 1, elle est définie par Elle peut également servir pour des séries numériques convergentes, comme celle derrière le problème de Bâle. Plusieurs formules explicites ou numériques efficaces existent pour le calcul de ζ(s) pour des valeurs entières, qui ont toutes des valeurs réelles, dont l'exemple cité. Cette page liste ces formules avec des tables de valeurs, ainsi que des séries tirées de la dérivée de ζ ou de compositions avec d'autres séries.
La même équation en s reste vraie si s est un nombre complexe dont la partie réelle est supérieure à 1, assurant la convergence. Ainsi, elle peut être prolongée au plan complexe par prolongement analytique, sauf au pole simple en s = 1. La dérivée complexe existe dans cette région plus large, faisant de la fonction zêta une fonction méromorphe. Cependant, l'expression de définition n'est plus valable pour toutes ces valeurs de s, où la sommation diverge. Par exemple, la fonction zêta existe en s = −1 (et y a donc une valeur finie), mais la série correspondante est 1 + 2 + 3 + ..., dont les sommes partielles divergent grossièrement.
Les valeurs de la fonction zêta listées ici incluent les valeurs de la fonction aux nombres entiers négatifs pairs (s = −2, −4, etc.), pour lesquels ζ(s) = 0 qui forment les zéros trivaux de la fonction. L'article consacré à la fonction zêta détaille l'importance des zéros non triviaux pour la théorie des nombres.
La fonction zêta de Riemann entre 0 et 1
En zéro, on aEn 1, il y a un pôle, ζ(1) n'est pas fini ; la limite vaut à gauche et à droite :Comme il y a un pôle du premier ordre, il y a un résidu etPour , de même que la somme à laquelle on retranche son équivalent tend vers une limite finie (la constante d'Euler), la somme à laquelle on retranche son équivalent tend vers une limite finie qui est égale à :Par exemple, voir la suite A059750 de l'OEIS.
On a aussi
Entiers positifs
Entiers positifs pairs
Les valeurs exactes de la fonction zêta aux entiers positifs pairs peuvent être exprimées à partir des nombres de Bernoulli :
Le calcul de ζ(2) est connu comme le problème de Bâle. La valeur de ζ(4) est liée à la loi de Stefan-Boltzmann et la loi de Wien en physique. Les premières valeurs sont :
On peut en déduire que .
Valeurs choisies aux entiers pairs
Valeur exacte
Approximation décimale
Source
ζ(2)
1,644 934 066 848 226 436 4...
A013661
ζ(4)
1,082 323 233 711 138 191 5...
A013662
ζ(6)
1,017 343 061 984 449 139 7...
A013664
ζ(8)
1,004 077 356 197 944 339 3...
A013666
ζ(10)
1,000 994 575 127 818 085 3...
A013668
ζ(12)
1,000 246 086 553 308 048 2...
A013670
ζ(14)
1,000 061 248 135 058 704 8...
A013672
La relation entre la fonction zêta aux entiers pairs positifs et les nombres de Bernoulli s'écrit
avec An et Bn sont entiers pour tout n pair. On obtient ainsi les suites d'entiers A002432 et A046988, dans l'OEIS. On donne certaines valeurs :
Coefficients
n
A
B
1
6
1
2
90
1
3
945
1
4
9450
1
5
93555
1
6
638512875
691
7
18243225
2
8
325641566250
3617
9
38979295480125
43867
10
1531329465290625
174611
11
13447856940643125
155366
12
201919571963756521875
236364091
13
11094481976030578125
1315862
14
564653660170076273671875
6785560294
15
5660878804669082674070015625
6892673020804
16
62490220571022341207266406250
7709321041217
17
12130454581433748587292890625
151628697551
Si on note ηn = Bn/An le coefficient devant π2n comme vu avant, alors on peut poser la relation de récurrence,
Il a été prouvé que ζ(3) est irrationnel (théorème d'Apéry) et qu'une infinité de nombres de la forme ζ(2n + 1) : n ∈ ℕ , sont irrationnels[1]. Il existe des résultats sur l'irrationalité de valeurs de la fonction zêta de Riemann sur les éléments de certains sous-ensembles d'entiers impairs positifs ; par exemple au moins une des valeurs parmi ζ(5), ζ(7), ζ(9), ou ζ(11) est irrationnelle[2].
Les valeurs de zêta aux entiers impairs positifs apparaissent en physique, plus spécifiquement dans les fonctions de corrélation des chaînes de spin XX-antiferromagnétiques[3].
La plupart des identités suivantes viennent de Simon Plouffe. Elles sont remarquables pour leur convergence rapide (au moins trois chiffres par itération) et donc utiles dans les calculs de haute précision.
Cependant, comme les nombres de Bernoulli, ils restent petits à mesure qu'on va plus loin dans les entiers négatifs. On pourra regarder l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.
Ainsi ζ(m) peut être utilisé comme définition pour tous les nombres de Bernoulli (dont ceux aux indices 0 et 1).
Dérivées
La dérivée de la fonction zêta aux entiers pairs négatifs donne :
Les zéros de la fonction zêta de Riemann sauf les entiers pairs négatifs sont appelés "zéros non triviaux". Il reste un problème complexe de la théorie des nombres. Voir le site d'Andrew Odlyzko pour les tables et les bibliographies.
Rapports
Si évaluer des valeurs particulières de la fonction zêta peut être difficile, on peut déterminer les valeurs de certains rapports entre deux valeurs données en utilisant astucieusement les valeurs particulières de la fonction Gamma d'Euler et sa formule de réflexion :
On obtient pour deux valeurs demi-entières :
D'autres exemples suivent pour des évaluations plus poussées et des relations de la fonction Gamma. Par exemple, une conséquence de la relation
permet d'obtenir
où AGM désigne la moyenne arithmético-géométrique. De façon similaire, il est possible d'obtenir des relations avec des radicaux, telles que
la relation analogue impliquant zeta est
Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Particular values of the Riemann zeta function » (voir la liste des auteurs).
↑T. Rivoal, « La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 331, , p. 267–270 (DOI10.1016/S0764-4442(00)01624-4, Bibcode2000CRASM.331..267R, arXivmath/0008051)
↑W. Zudilin, « One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational », Russ. Math. Surv., vol. 56, no 4, , p. 774–776 (DOI10.1070/rm2001v056n04abeh000427, Bibcode2001RuMaS..56..774Z)
↑(en) H.E. Boos, V.E. Korepin, Y. Nishiyama et M. Shiroishi, « Quantum correlations and number theory », J. Phys. A, vol. 35, , p. 4443–4452 (DOI10.1088/0305-4470/35/20/305, Bibcode2002JPhA...35.4443B, arXivcond-mat/0202346).
↑(en) E.A. Karatsuba, « Fast calculation of the Riemann zeta function ζ(s) for integer values of the argument s », Probl. Perdachi Inf., vol. 31, no 4, , p. 69–80 (MR1367927, lire en ligne)
↑(en) E. A. Karatsuba, « Fast computation of the Riemann zeta function for integer argument », Dokl. Math., vol. 54, no 1, , p. 626.
↑(en) E. A. Karatsuba, « Fast evaluation of ζ(3) », Probl. Inf. Transm., vol. 29, no 1, , p. 58-62.
Sources
(en) Óscar Ciaurri, Luis M. Navas, Francisco J. Ruiz et Juan L. Varona, « A Simple Computation of ζ(2k) », The American Mathematical Monthly, vol. 122, no 5, , p. 444–451 (DOI10.4169/amer.math.monthly.122.5.444, JSTOR10.4169/amer.math.monthly.122.5.444)
(en) Simon Plouffe, « Identities inspired from Ramanujan Notebooks », .
(en) Simon Plouffe, « Identities inspired by Ramanujan Notebooks part 2 », PDF.
(en) Linas Vepstas, « On Plouffe's Ramanujan Identities »,
(en) Wadim Zudilin, « One of the Numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) Is Irrational », Russian Mathematical Surveys, vol. 56, , p. 774–776 (DOI10.1070/RM2001v056n04ABEH000427, Bibcode2001RuMaS..56..774Z, MR1861452) PDF PDF en russe PS en russe