Théorèmes A et B de Cartan

En mathématiques, les théorèmes A et B de Cartan sont deux résultats de Henri Cartan démontrés vers 1951, concernant un faisceau cohérent (en) F sur une variété de Stein X . Ils sont significatifs à la fois lorsqu'ils sont appliqués aux fonctions de plusieurs variables complexes et dans le développement général de la cohomologie des faisceaux.

Théorème A — F est un faisceau généré par ses sections globales.

Le théorème B est énoncé en termes cohomologiques (une formulation que Cartan (1953, p. 51) attribue à J.-P. Serre):

Théorème B — $H^{p}(X,F)=0$ pour tout p > 0.

Des propriétés analogues ont été établies par Serre (1957) pour les faisceaux cohérents en géométrie algébrique, lorsque X est un schéma affine. L'analogue du théorème B dans ce contexte est le suivant (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7) :

Théorème B (analogue schématique) — Soit X un schéma affine, F un faisceau quasi-cohérent de O_X - modules pour la topologie de Zariski sur X. Alors $H^{p}(X,F)=0$ pour tout p > 0.

Ces théorèmes ont de nombreuses applications. Par exemple, ils impliquent qu'une fonction holomorphe sur une sous-variété complexe fermée Z, d'une variété Stein X peut être étendue à une fonction holomorphe sur X. Ces théorèmes ont été utilisés par Jean-Pierre Serre pour prouver le théorème GAGA.

Le théorème B est optimal dans le sens où si $H^{p}(X,F)=0$ pour tous faisceaux cohérents F et p > 0 sur une variété complexe X (resp. faisceaux quasi-cohérents F sur un schéma noéthérien X ), alors X est Stein (resp. affine); voir (Serre 1956) (resp. (Serre 1957) et (Hartshorne 1977, Theorem III.3.7)).

Notes et références

H. Cartan, Variétés analytiques complexes et cohomologie, 1953, 41–55 p. (zbMATH 0053.05301).
Robert C. Gunning et Hugo Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice Hall, 1965 (ISBN 9780821821657, DOI 10.1090/chel/368).
Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, vol. 52, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1977 (ISBN 978-0-387-90244-9, DOI 10.1007/978-1-4757-3849-0, MR 0463157, zbMATH 0367.14001, Algebraic Geometry sur Google Livres).
Jean-Pierre Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique, vol. 6, 1956, 1–42 p. (ISSN 0373-0956, DOI 10.5802/aif.59 , MR 0082175, lire en ligne)
Jean-Pierre Serre, Sur la cohomologie des variétés algébriques, vol. 36, 1957, 1–16 p. (zbMATH 0078.34604)
- Jean-Pierre Serre, Oeuvres - Collected Papers I: 1949 - 1959, 2 décembre 2013, 469–484 p. (ISBN 978-3-642-39815-5, Oeuvres - Collected Papers I: 1949 - 1959 sur Google Livres), « 35. Sur la cohomologie des variétés algébriques »