Théorème taubérien de Wiener

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème taubérien de Wiener fait référence à plusieurs résultats analogues démontrés par Norbert Wiener en 1932^[1]. Ils donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour pouvoir approximer une fonction des espaces L₁ ou L₂ par des combinaisons linéaires de translatées d'une fonction donnée^[2].

Soit f ∈ L₁(R) une fonction intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de f, f_a(x) = f(x+a), est dense dans L₁(R) si et seulement si la transformée de Fourier de f ne s'annule pas dans R.

Le résultat suivant, équivalent à l'énoncé précédent, explique pourquoi le théorème de Wiener est un théorème taubérien :

Supposons que la transformée de Fourier de f ∈ L₁ n'ait pas de zéros réels, et que le produit de convolution f  * h tende vers zéro à l'infini pour une certaine fonction h ∈ L_∞. Alors le produit de convolution g * h tend vers zéro à l'infini pour tout g ∈ L₁.

Plus généralement, si ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,{\rm {d}}x}$ pour une certaine fonction f ∈ L₁ dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, alors on a également ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,{\rm {d}}x}$ pour tout g ∈ L₁.

Le théorème de Wiener possède un analogue dans l₁(Z) : le sous-espace engendré par les translatées,f ∈ l₁(Z) est dense si et seulement si la transformée de Fourier discrète ${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }}$ ne s'annule pas dans R. Les énoncés suivants sont équivalents à ce résultat :

• Soit f ∈ l₁(Z) une suite dont la transformée de Fourier ne s'annule pas, et telle que le produit de convolution discret f * h tend vers 0 à l'infini pour une suite bornée h. Alors il en est de même de g * h pour toute suite g ∈ l₁(Z).
• Soit φ une fonction définie sur le cercle unité dont la série de Fourier converge absolument. Alors la série de Fourier de 1/φ converge absolument si et seulement si φ ne s'annule pas.

Israel Gelfand a montré^[3] que ces résultats sont équivalents à la propriété suivante de l'algèbre de Wiener (en) A(T) :

• Les idéaux maximaux de A(T) sont tous de la forme ${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .\,}$

Gelfand démontra cette équivalence en utilisant les propriétés des algèbres de Banach, obtenant ainsi une nouvelle démonstration du résultat de Wiener.

Soit f ∈ L₂(R) une fonction de carré intégrable. Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées de f, f_a(x) = f(x+a), est dense dans L₂(R) si et seulement si l'ensemble des zéros réels de la transformée de Fourier de f est négligeable, c'est-à-dire de mesure de Lebesgue nulle.

Le résultat correspondant pour les suites de l₂(Z) est : Le sous-espace vectoriel engendré par les translatées d'une suite f ∈ l₂(Z) est dense si et seulement si l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier ${\displaystyle \varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n){\rm {e}}^{-{\rm {i}}n\theta }}$ est négligeable.

Théorème de Wiener–Ikehara

(en) « Wiener Tauberian theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

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