Théorème de Krull-Akizuki

Le théorème de Krull-Akizuki est un théorème d'algèbre commutative qui donne des conditions sous lesquelles la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est encore un anneau noethérien.

Soient A un anneau commutatif intègre noethérien de dimension de Krull 1 (ie : tout idéal premier non nul est maximal), K son corps des fractions, L une extension finie de K, et B un sous-anneau de L contenant A. Alors B est noethérien de dimension 1. En outre, pour tout idéal non nul J de B, le A-module B/J est un A-module de longueur finie^[1].

• Remarque : Une conséquence importante du théorème est que la clôture intégrale d'un anneau de Dedekind A dans une extension finie de son corps des fractions est encore un anneau de Dedekind. Ceci se généralise partiellement en dimension supérieure à 1 par le théorème de Mori-Nagata qui montre que la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est un anneau de Krull.

Supposons pour simplifier que ${\displaystyle L=K}$. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ les idéaux premiers minimaux de A, qui sont en nombre fini. Soit ${\displaystyle K_{i}}$ le corps des fractions de ${\displaystyle A/{{\mathfrak {p}}_{i}}}$ et ${\displaystyle I_{i}}$ le noyau de l'application naturelle ${\displaystyle B\to K\to K_{i}}$. Alors :

${\displaystyle A/{{\mathfrak {p}}_{i}}\subset B/{I_{i}}\subset K_{i}}$.

Si le théorème est vrai lorsque A est intègre, alors B est un anneau noethérien intègre de dimension 1 puisque chaque ${\displaystyle B/{I_{i}}}$ l'est et que ${\displaystyle B=\prod B/{I_{i}}}$. Il suffit donc de montrer le théorème dans le cas où A est intègre. Soit ${\displaystyle 0\neq I\subset B}$ un idéal et a un élément non nul de ${\displaystyle I\cap A}$. Posons ${\displaystyle I_{n}=a^{n}B\cap A+aA}$. Comme ${\displaystyle A/aA}$ est un anneau noethérien de dimension 0, donc artinien, il existe un indice ${\displaystyle l}$ tel que ${\displaystyle I_{n}=I_{l}}$ pour tout ${\displaystyle n\geq l}$. Montrons que :

${\displaystyle a^{l}B\subset a^{l+1}B+A.}$

Puisqu'il suffit d'établir l'inclusion localement, on peut supposer que A est un anneau local d'idéal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$. Soit alors x un élément non nul de B , il existe alors n tel que ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n+1}\subset x^{-1}A}$ et donc ${\displaystyle a^{n+1}x\in a^{n+1}B\cap A\subset I_{n+2}}$. Donc,

${\displaystyle a^{n}x\in a^{n+1}B\cap A+A.}$

Soit alors ${\displaystyle n\geq l}$ le plus petit entier pour lequel l'inclusion est vérifiée. Si ${\displaystyle n>l}$, il est facile de voir que ${\displaystyle a^{n}x\in I_{n+1}}$. Mais alors, l'inclusion est aussi vérifiée pour ${\displaystyle n-1}$, ce qui est une contradiction. Donc ${\displaystyle n=l}$ et l'assertion est démontrée. De cela il s'ensuit que:

${\displaystyle B/{aB}\simeq a^{l}B/a^{l+1}B\subset (a^{l+1}B+A)/a^{l+1}B\simeq A/{a^{l+1}B\cap A}.}$

Ceci montre que ${\displaystyle B/{aB}}$ est un A-module de longueur finie. En particulier, l'image de I est de type fini et donc I est de type fini. Enfin, ce qui précède montre que la dimension de ${\displaystyle B/{aB}}$ est nulle et donc que B est de dimension 1.

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