Théorème de Krull-Akizuki
Le théorème de Krull-Akizuki est un théorème d'algèbre commutative qui donne des conditions sous lesquelles la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est encore un anneau noethérien.
Énoncé
Soient A un anneau commutatif intègre noethérien de dimension de Krull 1 (ie : tout idéal premier non nul est maximal), K son corps des fractions, L une extension finie de K, et B un sous-anneau de L contenant A. Alors B est noethérien de dimension 1. En outre, pour tout idéal non nul J de B, le A-module B/J est un A-module de longueur finie[1].
- Remarque : Une conséquence importante du théorème est que la clôture intégrale d'un anneau de Dedekind A dans une extension finie de son corps des fractions est encore un anneau de Dedekind. Ceci se généralise partiellement en dimension supérieure à 1 par le théorème de Mori-Nagata qui montre que la clôture intégrale d'un anneau noethérien intègre est un anneau de Krull.
Démonstration
Supposons pour simplifier que . Soit les idéaux premiers minimaux de A, qui sont en nombre fini. Soit le corps des fractions de et le noyau de l'application naturelle . Alors :
- .
Si le théorème est vrai lorsque A est intègre, alors B est un anneau noethérien intègre de dimension 1 puisque chaque l'est et que . Il suffit donc de montrer le théorème dans le cas où A est intègre. Soit un idéal et a un élément non nul de . Posons . Comme est un anneau noethérien de dimension 0, donc artinien, il existe un indice tel que pour tout . Montrons que :
Puisqu'il suffit d'établir l'inclusion localement, on peut supposer que A est un anneau local d'idéal maximal . Soit alors x un élément non nul de B , il existe alors n tel que et donc . Donc,
Soit alors le plus petit entier pour lequel l'inclusion est vérifiée. Si , il est facile de voir que . Mais alors, l'inclusion est aussi vérifiée pour , ce qui est une contradiction. Donc et l'assertion est démontrée. De cela il s'ensuit que:
Ceci montre que est un A-module de longueur finie. En particulier, l'image de I est de type fini et donc I est de type fini. Enfin, ce qui précède montre que la dimension de est nulle et donc que B est de dimension 1.
Références
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