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Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat[1], or ici seuls les deux premiers ont été exploités : 3, 5.
Tables de valeurs
Dans un polygone régulier à n côtés, inscrit dans un cercle de rayon R, l'apothème et le demi-côté valent respectivement Rcos(π/n) et Rsin(π/n). Ces égalités relient naturellement les lignes trigonométriques des angles π/n radians avec les polygones réguliers à n côtés.
Table de lignes trigonométriques exactes[2] pour quelques angles
Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence (voir infra) avec celles pour 39° ci-dessus — pour l'angle de 40°, mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes. Ce n'est pas utile pratiquement, car pour calculer une racine cubique d'un nombre complexe, il faut calculer le cosinus d'un angle. ..
Applications
Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête a : .
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Construction
Lignes élémentaires
Représentation géométrique des angles de 0, 30, 45, 60, et 90 degrés.
On peut restituer une partie de la table en considérant la suite (√n/2), pour n allant de 0 à 4 :
Angle
sinus
rad
rad
rad
rad
rad
La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.
Triangles fondamentaux
Polygone régulier à N sommets et son triangle rectangle fondamental, d'angle au centre π/N.
La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la constructibilité de certains polygones réguliers. Un N-gone régulier se décompose en 2Ntriangles rectangles dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont π/N, π/2 – π/N et π/2.
Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 216 + 1 = 65 537.
Addition et différence d'angles
Grâce à l'identité de Bézout et aux formules d'addition et de différence, on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,
Division d'un angle en deux
Les formules d'angle moitié permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de cos(π/2) = 0, on trouve :
Outre les simplifications élémentaires usuelles, on peut parfois désimbriquer des racines : pour réduire
(avec a et b rationnels, b ≥ 0 et a ≥ √b), il suffit que le réel
soit rationnel.
Exemples
.
.
Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Exact trigonometric constants » (voir la liste des auteurs).
(en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles », sur MathWorld et les articles liés dans son § « See also: 257-gon, 65537-gon, Constructible Polygon, Pi/5, Pi/6, Pi/7, Pi/8 […] »
(en) Regular Polygon, sur mathforum.org
(en) Naming Polygons and Polyhedra, sur mathforum.org
Une suite de vidéos sur la trigonométrie. La 17e vidéo montre comment obtenir la valeur exacte de sin(3°), de cos(3°) et d'autres angles multiples de 3°.
Une suite de vidéos sur la construction à la règle et au compas. La 4e vidéo montre qu'il n'est pas possible d'exprimer la valeur exacte de cos(20°) à l'aide des nombres rationnels, des quatre opérations et de l'extraction de la racine carrée.