Suite arithmético-géométrique
Ne pas confondre avec les suites définissant la moyenne arithmético-géométrique.
En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.
Définition
On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (un)n ∈ ℕ à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :
- Remarque
- On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p[1]. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.
Terme général
Cas où a = 1
Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc
Cas où a ≠ 1
En posant
on a :
(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).
On cherche d'abord le point fixe, c'est-à-dire, le r tel que f(r) = r avec f la fonction x ↦ ax + b associée à la suite :
- .
Puis on définit une suite translatée :
- .
La relation un + 1 = aun + b se traduit alors par vn + 1 + r = a(vn + r) + b donc
- .
La suite (vn) est donc géométrique de raison a. Par conséquent,
- .
D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :
Somme des premiers termes
Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :
D'après l'expression du terme général de la section précédente et celle de la somme des premiers termes d'une suite géométrique,
On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,
- .
Convergence
Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0 – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).
Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.
Utilisation
Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).
Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :
- .
Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (Rn) est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :
- .
On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors :
- .
De la relation
on déduit que :
- .
Comme d'autre part
- ,
en remplaçant on obtient :
- .
Notes et références
- ↑ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[réf. incomplète]
- ↑ J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 3e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne), p. 532.
- ↑ Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas a = 1 précédent et les réciproques des deux cas, la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous).
Voir aussi
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