Spirale de Sacks
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La spirale de Sacks, créée par Robert Sacks en 1994, est une variante de la spirale d'Ulam. Elle diffère de la spirale d'Ulam de trois manières :
- Elle place les points sur une spirale d'Archimède plutôt que sur une spirale carrée.
- Elle place le zéro au centre de la spirale.
- Elle effectue une rotation complète à chaque carré parfait, plutôt qu'une demi-rotation comme dans la spirale d'Ulam.
Construction
La position de chaque entier est représentée par les coordonnées polaires suivantes :
où a représente un nombre de rotations, et non un angle en radians ou degrés.
Quelques alignements remarquables
- Alignements toujours vides en nombres premiers :
- Rayon horizontal de droite : nombres carrés ⇒ jamais premiers
- Ligne immédiatement inférieure : nombres de la forme n2 – 1 ⇒ toujours divisibles par n + 1 et n – 1
- Rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n2 + n ⇒ toujours divisibles par n et n + 1.
- Voisinage des rayons verticaux.
- Courbes apparaissant anormalement denses en nombres premiers.
- Spirale dense en nombres premiers se terminant, dans l'illustration ci-contre, presque au bas du disque : Nombres de la forme n2 + n + 41, Il s'agit du polynôme découvert par Leonhard Euler en 1774 et qui porte son nom.
- Autre spirale dense, 24 rangs au-dessus : nombres de la forme n2 + n + 17
- Ligne immédiatement au-dessus du rayon horizontal de gauche : nombres de la forme n2 + n – 1
L'étendue de ces alignements aux grands nombres premiers est aujourd'hui inconnue.
Spirale du nombre de diviseurs
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/49/Sacks_Spiral_Divisors_100000.png/220px-Sacks_Spiral_Divisors_100000.png)
Tout comme pour la spirale d'Ulam, une autre façon de mettre en évidence des courbes remarquables est de tracer au-dessus de chaque nombre placé sur la spirale, un disque de diamètre égal à son nombre de diviseurs. Les nombres premiers sont donc représentés par un disque de diamètre 2.
Annexes
Articles connexes
- Spirale d'Ulam
- Spirale d'Archimède
Liens externes
- (en) NumberSpiral.com - Site de Robert Sacks
- (en) The Sacks Number Spiral - Natural Numbers
- (en) The Distribution of Prime Numbers on the Square Root Spiral - Harry K. Hahn, [PDF]
- Spiral de Sacks - Une version en Tcl/Tk avec une généralisation selon le nombre de diviseurs, Le Wiki tcl francophone
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