Monoïde chinois

En mathématiques, un monoïde chinois est un monoïde sur un alphabet totalement ordonné défini par les relations $cba=cab=bca$ pour tout $a\leq b\leq c$ . Un algorithme similaire à l'algorithme de Schensted donne une caractérisation des classes d'équivalence et fournit une transversale rationnelle. Les monoïdes chinois sont décrits par Duchamp et Krob (1994)^[1] dans leur classification des monoïdes à croissance similaire à celle du monoïde plaxique, et étudiés en détail par Cassaigne, Espie, Krob, Novelli et Hivert en 2001^[2].

Le monoïde chinois admet la transversale rationnelle

a^{*}\ (ba)^{*}b^{*}\ (ca)^{*}(cb)^{*}c^{*}\cdots

et a donc croissance polynomiale de dimension

{\frac {n(n+1)}{2}}

^[3].

La classe d'équivalence d'une permutation dans le monoïde chinois est la pré-image d'une involution sous l'application $w\mapsto w\circ w^{-1}$ où $\circ$ désigne le produit dans l'algèbre d'Iwahori-Hecke avec $q_{s}=0$ ^[4].

Bibliographie

[1994] Gérard Duchamp et Daniel Krob, « Plactic-growth-like monoids », Words, languages and combinatorics, II (Kyoto, 1992), World Sci. Publ., River Edge, NJ,‎ 1994, p. 124–142 (MR 1351284, zbMATH 0875.68720, lire en ligne)
[2001] Julien Cassaigne, Marc Espie, Daniel Krob, Jean-Christophe Novelli et Florent Hivert, « The Chinese monoid », International Journal of Algebra and Computation, vol. 11, n^o 3,‎ 2001, p. 301–334 (ISSN 0218-1967, DOI 10.1142/S0218196701000425, MR 1847182, zbMATH 1024.20046, lire en ligne).
[2008] Yuqun Chen et Jianjun Qiu, « Gröbner–shirshov basis for the chinese monoid », Journal of Algebra and Its Applications, vol. 07, n^o 05,‎ 1^er octobre 2008, p. 623–628 (DOI 10.1142/S0219498808003028)
[2011] Joanna Jaszuńska et Jan Okniński, « Structure of Chinese algebras », J. Algebra, vol. 346, n^o 1,‎ 2011, p. 31–81 (DOI 10.1016/j.jalgebra.2011.08.020, zbMATH 1246.16022, arXiv 1009.5847, S2CID 119280148).
[2017] Zachary Hamaker, Eric Marberg et Brendan Pawlowski, « Involution words II: braid relations and atomic structures », Journal of Algebraic Combinatorics, vol. 45, n^o 3,‎ 1^er mai 2017, p. 701–743 (DOI 10.1007/s10801-016-0722-6, arXiv 1601.02269, S2CID 119330473)
[2022] Nohra Hage et Philippe Malbos, « Chinese syzygies by insertions », Semigroup Forum, vol. 104, n^o 1,‎ février 2022, p. 88–108 (DOI 10.1007/s00233-021-10244-4, zbMATH 07463827)
[2022] Alan J. Cain, António Malheiro et Duarte Ribeiro, « Identities and bases in the hypoplactic monoid », Communications in Algebra, vol. 50, n^o 1,‎ 2 janvier 2022, p. 146–162 (DOI 10.1080/00927872.2021.1955901, zbMATH 1494.20082)
[2023] Zur Izhakian et Glenn Merlet, « Tropical linear representations of the Chinese monoid », Semigroup Forum, vol. 107, n^o 1,‎ 1^er août 2023, p. 144–157 (DOI 10.1007/s00233-023-10353-2, arXiv 2001.05888)