Module de Specht

En mathématiques, et particulièrement en algèbre, un module de Specht est une représentation des groupes symétriques, étudiée par Wilhelm Specht en 1935^[1]. Ces modules sont indexés par des partitions et, en caractéristique 0, les modules de Specht des partitions d'un entier n forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique sur n éléments.

On considère une partition v de l'entier n et on fixe un anneau commutatif k . La partition détermine un diagramme de Young à n cases. Un tableau de Young de forme λ est une façon de remplir les cases de ce diagramme de Young par des nombres distincts ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ .

Un tabloïd est une classe d'équivalence de tableaux de Young où deux étiquetages sont équivalents si l'un est obtenu à partir de l'autre en permutant les entrées des lignes. Pour un tableau de Young ${\displaystyle T}$, on note ${\displaystyle \{T\}}$ le tabloïd correspondant. Le groupe symétrique sur n éléments agit sur l'ensemble des tableaux de Young de forme λ. Par conséquent, il agit sur les tabloïds, et sur le k-module libre V engendré par les tabloïds.

Étant donné un tableau de Young T de forme λ, soit

${\displaystyle E_{T}=\sum _{\sigma \in Q_{T}}\epsilon (\sigma )\{\sigma (T)\}\in V}$

où ${\displaystyle Q_{T}}$ est le sous-groupe de permutations qui préservant (en tant qu'ensembles) les colonnes de T et où ${\displaystyle \epsilon (\sigma )}$ est la signature de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ . Le module de Specht de la partition λ est par définition le module engendré par les éléments ${\displaystyle E_{T}}$ quand T parcourt l' ensemble des tableaux de forme λ.

Une base du module de Specht est formé des éléments de ${\displaystyle E_{T}}$ pour T un tableau de Young standard.

Une introduction à la construction du module de Specht peut être trouvée dans la section 1 du chapitre « Specht Polytopes and Specht Matroids » ^[2].

Sur des corps de caractéristique 0, les modules de Specht sont irréductibles et forment un ensemble complet de représentations irréductibles du groupe symétrique.

Sur des corps de caractéristique p >0, la situation est un peu plus complexe : une partition est dite p-régulière si elle ne comporte pas p parties qui sont de même taille positive. En caractéristique p >0, les modules de Specht peuvent être réductibles. Pour les partitions p-régulières, elles ont un quotient irréductible unique, et ces quotients irréductibles forment un ensemble complet de représentations irréductibles.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Specht module » (voir la liste des auteurs).

• (en) Henning Haahr Andersen, « Specht modules », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Wilhelm Specht, « Die irreduziblen Darstellungen der symmetrischen Gruppe », Mathematische Zeitschrift, vol. 39, n^o 1,‎ 1935, p. 696–711 (DOI 10.1007/BF01201387)
• Jonathan Brundan, Alexander Kleshchev et Weiqiang Wang, « Graded Specht modules », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 655 61—87,‎ 2011, p. 61—87 (DOI 10.1515/crelle.2011.033, zbMATH 1244.20003, arXiv 0901.0218v3, présentation en ligne).
• Stephen Donkin et Haralampos Geranios, « Decompositions of some Specht modules I », Journal of Algebra, vol. 550,‎ 2020, p. 1–22$ (DOI 10.1016/j.jalgebra.2019.12.017)
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• Yu Jiang, « On some trivial source Specht modules », Journal of Algebra, vol. 556,‎ 2020, p. 1073–1100 (DOI 10.1016/j.jalgebra.2020.03.028)
• John D. Wiltshire-Gordon, Alexander Woo et Magdalena Zajaczkowska, « Specht Polytopes and Specht Matroids », dans Gregory G. Smith et Bernd Sturmfels (éditeurs), Combinatorial algebraic geometry. Selected papers from the 2016 apprenticeship program, Ottawa, Springer, coll. « Fields Institute Communications » (n^o 80), 2017, viii+390 (ISBN 978-1-4939-7485-6, zbMATH 1390.05245, arXiv 1701.05277), p. 201-228 [Zbl 1390.05245]

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