Méthode de Halley

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En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley[1], est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.

Énoncé

Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer

x n + 1 = x n − 2 f ( x n ) f ′ ( x n ) 2 [ f ′ ( x n ) ] 2 − f ( x n ) f ″ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}

à partir d'une valeur x0 proche de a.

Au voisinage de a, la suite vérifie :

| x n + 1 − a | < K | x n − a | 3 {\displaystyle |x_{n+1}-a|<K|x_{n}-a|^{3}} ,

avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.

Déduction

La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction g = f / f ′ {\displaystyle g=f/{\sqrt {f'}}}  :

x n + 1 = x n − g ( x n ) g ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}} ,

avec

g ′ ( x ) = 2 [ f ′ ( x ) ] 2 − f ( x ) f ″ ( x ) 2 f ′ ( x ) f ′ ( x ) , {\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}

d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.

Notes et références

  1. ↑ Edmond Halley, « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London, vol. 18,‎ , p. 136-145

Voir aussi

Liens internes

Liens externes

  • (en) Eric W. Weisstein, « Halley's Method », sur MathWorld
  • (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
  • icône décorative Portail de l'analyse