Lemme de regroupement

En théorie des probabilités et en théorie de la mesure, le lemme de regroupement^[1], également appelé lemme des coalitions^[2] ou indépendance par paquets^[3], est un résultat portant sur l'indépendance de variables aléatoires ou plus généralement de tribus.

Le lemme de regroupement est d'usage constant en probabilités. Citons quelques exemples :

• l'inégalité de Kolmogorov ;
• la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson ;
• le principe de Maurey, ou méthode des différences bornées.

Soit ${\displaystyle n\geq 2}$ un entier, soient ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes toutes définies sur un même espace de probabilité, soit ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}$ et soient ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ et ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-k}\to \mathbb {R} }$ deux fonctions mesurables. Alors les variables aléatoires ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{k})}$ et ${\displaystyle g(X_{k+1},\ldots ,X_{n})}$ sont indépendantes.

On a ici considéré deux « groupes » (ou « coalitions », ou « paquets ») ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{k})}$ et ${\displaystyle (X_{k+1},\ldots ,X_{n})}$ de variables aléatoires, d'où le nom lemme de regroupement (ou lemme des coalitions, ou indépendance par paquets).

Cela se généralise à un nombre quelconque de coalitions : par exemple si ${\displaystyle U,V,W,X,Y}$ sont indépendantes, alors ${\displaystyle U\sin V}$, ${\displaystyle W^{2}+X^{3}}$ et ${\displaystyle \ln(Y^{2}+1)}$ sont indépendantes.

Un autre exemple notamment utile pour l'étude de sommes de variables aléatoires : si ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n+1}}$ sont mutuellement indépendantes, alors ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ et ${\displaystyle X_{n+1}}$ sont indépendantes.

Soit ${\displaystyle n\geq 2}$ un entier, soient ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}}$ des tribus mutuellement indépendantes toutes incluses dans une même tribu ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ et soit ${\displaystyle k\in \{1,\ldots ,n-1\}}$. Alors la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{k}}$ et la tribu engendrée par ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k+1},\ldots ,{\mathcal {T}}_{n}}$ sont indépendantes.

On peut généraliser cela : soit ${\displaystyle ({\mathcal {T}}_{j})_{j\in J}}$ une famille de tribus mutuellement indépendantes toutes incluses dans une même tribu ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ et soit ${\displaystyle (P_{i})_{i\in I}}$ une partition de ${\displaystyle J}$. Posons, pour tout ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ la tribu engendrée par les ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{j}}$ pour ${\displaystyle j\in P_{i}}$. Alors les ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$ pour ${\displaystyle i\in I}$ sont mutuellement indépendantes.

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