Lemme de Siegel

En approximation diophantienne, le lemme de Siegel^[1] est un théorème d'existence d'une solution non nulle et de grandeur contrôlée à un système d'équations linéaires homogène à coefficients entiers (relatifs) ayant strictement plus d'inconnues que d'équations. Il est d'usage courant dans les démonstrations de transcendance. Les solutions ainsi contrôlées sont obtenues à l'aide de fonctions auxiliaires (en). L'existence de ces polynômes avait été démontrée par Axel Thue grâce au principe des tiroirs de Dirichlet^[2].

L'énoncé le plus simple est le suivant^[3] :

Soit ${\displaystyle A=(a_{i,j})}$ une matrice à m lignes et n colonnes, dont les coefficients sont des entiers non tous nuls. Si n > m, alors le système

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0\quad (i=1,\dots ,m)}$

admet une solution ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}\setminus \{(0,\dots ,0)\}}$ telle que

${\displaystyle \max _{i}|x_{i}|\leq \left(n\max _{i,j}|a_{i,j}|\right)^{\frac {m}{n-m}}}$.

Enrico Bombieri et Jeffrey Vaaler ont obtenu une majoration plus fine^[4], par des techniques de géométrie des nombres.

Lemme de Thue

• Arithmétique et théorie des nombres