Lemme de Kronecker

Le lemme de Kronecker est un résultat d'analyse concernant les séries de nombres réels.

Enoncé —  Si u n {\displaystyle u_{n}} est le terme général d'une série convergente, et si ( b n ) n {\displaystyle (b_{n})_{n}} est une suite croissante de réels positifs divergeant vers l'infini, alors :

lim n → ∞ 1 b n ∑ k = 1 n b k u k = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}=0}

Sa forme la plus connue, utilisée en particulier en probabilités dans une preuve classique de la loi des grands nombres, est la suivante :

Si la série de terme général x n n {\displaystyle {\frac {x_{n}}{n}}} converge alors 1 n ∑ k = 1 n x k {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}} tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Preuve

Notons s n := ∑ k = n ∞ u k {\displaystyle s_{n}:=\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}} et b 0 := 0 {\displaystyle b_{0}:=0} . Une transformation d'Abel donne :

1 b n ∑ k = 1 n b k u k = 1 b n ∑ k = 1 n b k ( s k − s k + 1 ) = 1 b n ( ∑ k = 1 n ( b k − b k − 1 ) s k − b n s n + 1 ) = 1 b n ∑ k = 1 n ( b k − b k − 1 ) s k − s n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}u_{k}&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}(s_{k}-s_{k+1})\\&={\frac {1}{b_{n}}}\left(\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-b_{n}s_{n+1}\right)\\&={\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}(b_{k}-b_{k-1})s_{k}-s_{n+1}\end{aligned}}}

Comme la suite ( s n ) n {\displaystyle (s_{n})_{n}} tend vers 0, le second terme tend vers 0, et le premier aussi d'après le lemme de Cesàro généralisé.

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