Inégalité de Bessel

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En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie —  Soit (e1, … , en) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

∑ i = 1 n | ⟨ x , e i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.}

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, … , en.

Démonstration

Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e1, … , en), et définissons le vecteur

y = ∑ i = 1 n ⟨ x , e i ⟩ e i . {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.}

Ce vecteur y appartient à F et x-y est orthogonal à chaque ej, donc à F. On a donc

‖ x ‖ 2 = ‖ y ‖ 2 + ‖ x − y ‖ 2 ≥ ‖ y ‖ 2 = ∑ i = 1 n | ⟨ x , e i ⟩ | 2 , {\displaystyle \|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{i=1}^{n}|\langle x,e_{i}\rangle |^{2},}

avec égalité si et seulement si x = y.

Si x = y alors x appartient à F. Réciproquement, si x appartient à F alors x – y est à la fois orthogonal à F et élément de F, donc nul, d'où x = y.

Généralisation à une famille quelconque

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général —  Soit (ei) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

∑ i ∈ I | ⟨ x , e i ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 , {\displaystyle \sum _{i\in I}\left|\langle x,e_{i}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2},}

et l'ensemble des indices i tels que 〈ei, x〉 soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λiei. La somme est la suivante :

x = ∑ i ∈ I ⟨ x , e i ⟩ e i . {\displaystyle x=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.}

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

∑ i ∈ I | ⟨ x , e i ⟩ ‖ e i ‖ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \sum _{i\in I}\left|{\frac {\langle x,e_{i}\rangle }{\|e_{i}\|}}\right|^{2}\leq \|x\|^{2}.}

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Démonstrations
  • Inégalité et dénombrabilité :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

∑ j ∈ J | ⟨ x , e j ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 . {\displaystyle \sum _{j\in J}\left|\langle x,e_{j}\rangle \right|^{2}\leq \|x\|^{2}.}

Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la majoration de l'énoncé, donc la sommabilité de la famille. Or l'ensemble des termes non nuls d'une famille sommable est au plus dénombrable.

  • Cas d'égalité :

Notons H l'espace de Hilbert complété de E et F l'adhérence dans H du sous-espace vectoriel engendré par les ei (l'adhérence dans E de ce même sous-espace est donc F∩E). L'inégalité précédente permet de définir, dans H,

y = ∑ i ∈ I ⟨ x , e i ⟩ e i . {\displaystyle y=\sum _{i\in I}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.}

Le reste de la preuve est identique au cas fini.

  • Unicité des coefficients :

Si

x = ∑ i ∈ I λ i e i {\displaystyle x=\sum _{i\in I}\lambda _{i}e_{i}}

alors pour tout j,

⟨ x , e j ⟩ = ∑ i ∈ I λ i ⟨ e i , e j ⟩ = λ j . {\displaystyle \langle x,e_{j}\rangle =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\lambda _{j}.}

Voir aussi

Article connexe

Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert

Liens externes

Bibliographie

  • Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]
  • Serge Lang, Analyse réelle, InterEditions, 1977 (ISBN 978-2-72960059-4)
  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
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