Identité de Landsberg-Schaar
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En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres et en analyse harmonique, l’identité de Landsberg-Schaar est la relation suivante, vraie pour des entiers positifs p et q arbitraires :
Bien que les deux membres de l'égalité ne soient que des sommes finies, aucune démonstration par des méthodes finitaires n'a encore été découverte. La démonstration actuelle[1] consiste à poser (avec ) dans l'identité suivante (due à Jacobi, et qui est essentiellement un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson en analyse harmonique) :
puis de faire tendre vers 0.
Prenant q = 1, l'identité se réduit à la formule donnant la valeur des sommes quadratiques de Gauss.
Si pq est pair, on peut réécrire l'identité sous la forme plus symétrique
- .
Notes et références
- ↑ (en) Harry Dym et Henry P. McKean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, .
- Arithmétique et théorie des nombres
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