Groupe simple d'ordre 360

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, un groupe simple est un groupe non trivial qui n'admet aucun sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial.

Frank Nelson Cole^[1] a démontré en 1893 que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes entre eux. Ils sont donc isomorphes au groupe alterné A₆ et au groupe linéaire spécial projectif ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{9})}$ (groupe linéaire spécial projectif d'un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps à 9 éléments), puisque ces deux groupes sont simples et d'ordre 360.

La démonstration de Cole repose essentiellement sur le fait que les 3-sous-groupes de Sylow d'un groupe simple G d'ordre 360 sont au nombre de 10, se coupent trivialement deux à deux et sont non cycliques (donc chaque 3-sous-groupe de Sylow de G, étant d'ordre 9, est produit direct de deux groupes d'ordre 3).

On en déduit que G est isomorphe à un sous-groupe H du groupe alterné A₁₀ possédant les propriétés suivantes :

1. H est simple et d'ordre 360 ;
2. pour tout 3-sous-groupe de Sylow P de H, il existe un et un seul point de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,10\}}$ qui est fixé par tout élément de P ;
3. pour tout point x de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,10\}}$, il existe un et un seul 3-sous-groupe de Sylow P de H tel que tout élément de P fixe x ;
4. si P est un 3-sous-groupe de Sylow de H, si x désigne l'unique point de ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,10\}}$ fixé par tout élément de P (voir propriété 2.), le stabilisateur de x dans le groupe H est N_H(P) ;
5. H n'a pas d'élément d'ordre 9 ;
6. tout élément d'ordre 3 de H a la structure cyclique 3-3-3.

On démontre ensuite que les sous-groupes H de A₁₀ possédant ces propriétés sont tous isomorphes entre eux.

Il existe une autre démonstration, reposant sur la théorie des caractères des représentations des groupes finis^[2].

• J. Dieudonné, « Les isomorphismes exceptionnels entre les groupes classiques finis », Canadian Journal of Mathematics, vol. 6,‎ 1954, p. 305-315. (Cité par Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions], Paris, 2004, p. 107.)

• Groupe simple d'ordre 168
• Liste des groupes finis simples

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