Formules de Binet
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Ne pas confondre avec la formule de Binet sur la suite de Fibonacci.
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En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique. Elles ont été introduites par Laurent Binet[réf. nécessaire].
Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'inverse du rayon vecteur et de ses dérivées par rapport à l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en , les trajectoires sont des coniques.
Formules de Binet
On considère tout d'abord le cas attractif. En posant , en notant , , et en exprimant la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :
- ;
- .
L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon er seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.
On a
Or et
Donc
De même on dérive pour obtenir .
Trajectoires coniques
On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :
- .
En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant par , puis enfin en projetant selon , on a :
- , soit encore :
- .
Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :
- , avec
En revenant à l'expression de r, on a :
- .
En exprimant le paramètre et l'excentricité on obtient :
- .
C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.
Voir aussi
- Équation de Kepler
- Force centrale
- Mouvement à force centrale
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