Formule de Crofton

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En mathématiques, la formule de Crofton, nommée d'après Morgan Crofton (de) (1826-1915), est un résultat de géométrie intégrale qui relie la longueur d'une courbe plane avec le nombre moyen de ses points d'intersections avec une droite quelconque du plan.

Soit γ une courbe plane rectifiable de longueur finie. Soit une droite orientée l, et soit n_γ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :

${\displaystyle \ell (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;\mathrm {d} \varphi \;\mathrm {d} p.}$

La forme différentielle

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi \wedge \mathrm {d} p}$

est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.

• Théorème de Barbier
• Nouille de Buffon (en)

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