Fonction zêta

Ne doit pas être confondu avec Fonction êta.

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En mathématiques, de nombreuses fonctions sont dénommées fonction zêta (d'après la lettre grecque ζ, zêta). La plus connue est la fonction zêta de Riemann ; parmi les autres on peut citer :

la fonction zêta d'Arakawa-Kaneko ;
la fonction zêta d'Artin-Mazur (en) ;
la fonction zêta de Dedekind ;
la fonction zêta de Hasse-Weil ;
la fonction zêta de Hurwitz ;
la fonction zêta d'Igusa (en) ;
la fonction zêta d'Ihara d'un graphe fini ;
la fonction zêta de Jacobi (de) ;
la fonction zêta de Lefschetz ;
la fonction zêta de Lerch ;
la fonction zêta de Ruelle (en) ;
la fonction zêta de Selberg ;
la fonction zêta de Weierstrass ;
la fonction zêta locale.

Beaucoup de ces fonctions zêta sont liées et impliquées dans des relations importantes. Il est probable qu'il existe une théorie générale qui pourrait unir les théories des fonctions zêta et celle des séries de Dirichlet, mais sa nature n'est pas connue pour le moment.

La démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est l'une des avancées les plus récentes vers une telle théorie. Parmi les conjectures apparentées, on peut citer la conjecture d'Artin, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et l'hypothèse de Riemann généralisée. La théorie des fonctions L (une généralisation des fonctions zêta) devrait à terme contenir celle des fonctions zêta. La classe de Selberg est une tentative de définition axiomatique des fonctions zêta.