Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs
En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée , est la fonction multiplicative qui à tout entier n > 0 associe la somme des puissances-ièmes des diviseurs positifs de n, où est un nombre complexe quelconque [1]:
Si p est un nombre premier alors est une somme partielle de série géométrique :
(La condition pk = 1 équivaut à k ∈ i(2π/logp)ℤ, ce qui est vrai pour tous les p si k est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, n'est pas complètement multiplicative.
On peut aussi calculer σk(pq) par les polynômes de Tchebychev : soient Uq le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré q, et Xq sa renormalisation, définie par Xq(T) = Uq(T/2). Alors[2] :
Démonstration[réf. nécessaire]
Notons a= pk/2. Il s'agit de prouver que
ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :
La fonction[3] (« nombre de diviseurs »), également notée[4]d, est aussi appelée fonction tau[5],[1] (de l'allemandTeiler : diviseur) et notée τ. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de n :
La suite est répertoriée comme suite A000005 de l'OEIS.
La suite est répertoriée comme suite A000203 de l'OEIS.
Autres valeurs de k
La suite est répertoriée comme suite A001157 de l'OEIS.
La suite est répertoriée comme suite A001158 de l'OEIS.
Notes et références
↑ abc et dGérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.
↑ a et bEmmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.
↑« d(n) (also called tau(n) or sigma_0(n)), the number of divisors of n », suite A000005 de l'OEIS.
↑G. H. Hardy et E. M. Wright, Introduction à la théorie des nombres ; William John Ellison et Michel Mendès France, Les Nombres premiers, [détail de l’édition].
↑Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
J. Liouville, « Généralisation d'une formule concernant la somme des puissances des diviseurs d'un nombre », J. Math. Pures Appl., 2e série, vol. 3, , p. 63-68 (lire en ligne)