Fonction de Fabius

En mathématiques, la fonction de Fabius est un exemple de fonction de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ qui n'est nulle part analytique, trouvée par Jaap Fabius (1996). Elle a également été écrit comme la transformée de Fourier de

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$

par Børge Jessen et Aurel Winner (1935).

La fonction Fabius est définie sur l'intervalle ${\displaystyle [0,1]}$ et est donnée par la fonction de répartition de

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n},}$

où les ξ_n sont des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'intervalle unité.

Cette fonction satisfait la condition initiale ${\displaystyle f(0)=0}$, la condition de symétrie ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ pour ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ et l' équation différentielle fonctionnelle ${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$ pour ${\displaystyle 0\leq x\leq 1/2.}$ Il s'ensuit que ${\displaystyle f}$ est monotone croissante pour ${\displaystyle 0\leq x\leq 1,}$ avec ${\displaystyle f(1/2)=1/2}$ et ${\displaystyle f(1)=1.}$ Il existe une extension unique de f aux nombres réels qui satisfait la même équation différentielle pour tout x . Cette extension peut être définie par f (x) = 0 pour x ≤ 0, f (x + 1) = 1 − f (x) pour 0 ≤ x ≤ 1, et f (x + 2^r) = −f (x) pour 0 ≤ x ≤ 2^r avec r un entier positif. La séquence d'intervalles dans lesquels cette fonction est positive ou négative suit le même schéma que la suite de Prouhet-Thue-Morse.

La fonction de Fabius est constante à zéro pour tous les réels négatifs et possède des valeurs rationnelles quand l'argument est un rationnel dyadique positif.

• (en) Juan Arias de Reyna, « Arithmetic of the Fabius function », 2017.
• (en) Juan Arias de Reyna, « An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties », 2017. (an English translation of the author's paper published in Spanish in 1982)
• (en) Alkauskas, Giedrius, Dirichlet series associated with Thue-Morse sequence, 2001 (lire en ligne).
• (ru) Rvachev, V. L. et Rvachev, V. A., Non-classical methods of the approximation theory in boundary value problems, Kiev, Naukova Dumka, 1979.

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