Fonction L p-adique

En mathématiques, une fonction zêta p-adique, et plus généralement une fonction L p-adique, est une fonction analogue à la fonction zêta de Riemann, ou plus généralement des fonctions L, pour lesquels les ensembles de départ et d'arrivé sont les nombres p-adiques (où p est un nombre premier). Par exemple, l'ensemble de départ peut être l'ensemble des entiers p-adique Zp, un p-groupe profini, ou une famille de représentations galoisiennes p-adique, et l'image peut être l'ensemble Qp ou sa clôture algébrique.

La source d'une fonction L p-adique est généralement de deux types. La première — à partir de laquelle Tomio Kubota (en) et Heinrich-Wolfgang Leopoldt ont donné la première construction d'une fonction L p-adique (Kubota et Leopoldt 1964) — est via l'interpolation p-adique des valeurs spéciales des fonctions L (en). Par exemple, Kubota-Leopoldt ont utilisé les congruences de Kummer sur les nombres de Bernoulli pour construire une fonction L p-adique, la fonction zêta de Riemann p-adique ζp(s), dont les valeurs aux entiers impairs négatifs sont celles de la fonction zêta de Riemann (à un facteur de correction explicite près). Ces fonctions L p-adiques sont généralement dites fonctions L p-adiques analytiques. L'autre source de fonctions L p-adiques — découverte pour la première fois par Kenkichi Iwasawa — provient de la théorie des corps cyclotomiques, et plus généralement de certains représentation de Galois sur des tours de corps cyclotomiques. Une fonction L p-adique obtenue de cette manière est dite fonction L arithmétique p-adique car elle contient des informations sur le module de Galois donné. La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa (devenu un théorème dû à Barry Mazur et Andrew Wiles) est l'affirmation que la fonction L p-adique de Kubota-Leopoldt et un analogue arithmétique construit via la théorie d'Iwasawa sont essentiellement les mêmes.

Fonctions L de Dirichlet

Une fonction L de Dirichlet est donnée par le prolongement analytique de

L ( s , χ ) = ∑ n χ ( n ) n s = ∏ p  premier 1 1 − χ ( p ) p − s {\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ premier}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}} .

La fonction L de Dirichlet aux entiers négatifs vaut

L ( 1 − n , χ ) = − B n , χ n {\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}

où Bn,χ sont les nombres de Bernoulli généralisés définis par

∑ n = 0 ∞ B n , χ t n n ! = ∑ a = 1 f χ ( a ) t e a t e f t − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}

pour un caractère de Dirichlet χ de conducteur f.

Définition par interpolation

La fonction L p-adique de Kubota–Leopoldt Lp(s, χ) interpole la fonction L de Dirichlet à l'exception du le facteur d'Euler en p. Plus précisément, Lp(s, χ) est l'unique fonction continue du nombre p-adique s telle que

L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )}

pour n positif divisible par p − 1. Le terme de droite est la fonction L de Dirichlet usuelle, sans le terme d'ordre p sans quoi le terme de gauche n'aurait pas été continu au sens p-adique. La continuité de ce dernier est étroitement lié aux congruences de Kummer.

Lorsque n n'est pas divisible par p − 1, on pose plutôt

L p ( 1 − n , χ ) = ( 1 − χ ω − n ( p ) p n − 1 ) L ( 1 − n , χ ω − n ) {\displaystyle \displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})}

pour tout n positif. Ici χ multiplié par une puissance du caractère de Teichmüller (en) ω.

Fonction L p-adique comme une mesure p-adique

Les fonctions L p-adique peuvent aussi être vues comme des mesures p-adiques (ou distributions p-adiques) sur des groupes de Galois p-profinis. La transition entre ce point de vue et celui de Kubota-Leopoldt (en tant que fonctions de Zp dans Qp) s'effectue par la transformée de Mazur-Mellin (et la théorie des corps de classes).

Corps totalement réels

Deligne & Ribet (1980), s'appuyant sur le travail de Jean-Pierre Serre (1973), ont construit des fonctions L p-adiques sur des corps totalement réels. Indépendamment, Barsky (1978) et Cassou-Noguès (1979) ont fait la même chose, en suivant l'approche de Takuro Shintani concernant l'étude des valeurs L.

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « p-adic L-function » (voir la liste des auteurs).
  • Daniel Barsky, Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), vol. 16, Paris, Secrétariat Math., (ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346, lire en ligne), « Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels »
  • Pierrette Cassou-Noguès, « Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques », Inventiones Mathematicae, vol. 51, no 1,‎ , p. 29–59 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01389911, MR 524276)
  • John Coates, « On p-adic L-functions », Astérisque, no 177,‎ , p. 33–59 (ISSN 0303-1179, MR 1040567, lire en ligne)
  • Pierre Colmez, Fontaine's rings and p-adic L-functions, (lire en ligne)
  • Pierre Deligne et Kenneth A. Ribet, « Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields », Inventiones Mathematicae, vol. 59, no 3,‎ , p. 227–286 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01453237, Bibcode 1980InMat..59..227D, MR 579702)
  • Kenkichi Iwasawa, « On p-adic L-functions », Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, vol. 89, no 1,‎ , p. 198–205 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1970817, JSTOR 1970817, MR 0269627)
  • Kenkichi Iwasawa, Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, (ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526)
  • Nicholas M. Katz, Algebraic geometry, vol. 29, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Proc. Sympos. Pure Math. », (MR 0432649), « p-adic L-functions via moduli of elliptic curves », p. 479–506
  • Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 », (ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003)
  • Tomio Kubota et Heinrich-Wolfgang Leopoldt, « Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 214/215,‎ , p. 328–339 (ISSN 0075-4102, MR 0163900, lire en ligne)
  • Jean-Pierre Serre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), vol. 350, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Math », (ISBN 978-3-540-06483-1, DOI 10.1007/978-3-540-37802-0_4, MR 0404145), « Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques », p. 191–268
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres