Domaine d'holomorphie

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En mathématiques et plus précisément en analyse complexe à plusieurs variables, on dit qu'un domaine ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ (i.e. un ouvert connexe), est un domaine d'holomorphie s'il existe une fonction ${\displaystyle f}$ analytique dans ${\displaystyle D}$ et non prolongeable ailleurs.

Dans le cas particulier des domaines plans, cette propriété est triviale^[1]. Mais ce n'est plus vrai dans le cas général comme l'explicite le théorème de Hartogs : il suffit par exemple de considérer ${\displaystyle D=\mathbb {C} ^{n}\backslash \{0\}}$ dans lequel toute fonction analytique se prolonge nécessairement à l'espace ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ tout entier.

Un domaine ${\displaystyle D}$ qui n'est pas un domaine d'holomorphie admet une extension holomorphe ${\displaystyle G}$. Si de plus ${\displaystyle f}$ est holomorphe dans ${\displaystyle D}$, alors son prolongement à ${\displaystyle G}$ ne peut prendre que des valeurs déjà prises sur ${\displaystyle D}$^[1].

Domaine d'holomorphie^[2]

Un ouvert ${\displaystyle D}$ connexe de ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ est un domaine d'holomorphie s'il n'existe aucun couple d'ouverts ${\displaystyle (D_{1},D_{2})}$ vérifiant les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle \emptyset \neq D_{1}\subset D_{2}\cap D}$,
2. ${\displaystyle D_{2}}$ est connexe et n'est pas contenu dans ${\displaystyle D}$,
3. Pour toute fonction ${\displaystyle f}$ holomorphe dans ${\displaystyle D}$, il existe une fonction ${\displaystyle f_{2}}$ holomorphe dans ${\displaystyle D_{2}}$ (pas nécessairement unique) telle que ${\displaystyle f=f_{2}}$ sur ${\displaystyle D_{1}}$.

Un polydisque ou plus généralement un produit de domaines plans est un domaine d'holomorphie.

Théorème

Soit ${\displaystyle \{D_{i}\}_{i}}$ une famille de domaines d'holomorphie et ${\displaystyle G}$ leur intersection. Alors toute composante connexe de l'intérieur ${\displaystyle {\overset {\circ }{G}}}$ est un domaine d'holomorphie^[1].

Enveloppe d'holomorphie

L'enveloppe holomorphiquement convexe d'un ensemble ${\displaystyle M}$ d'un domaine ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ (i.e un ouvert connexe), ou plus généralement d'une variété complexe ${\displaystyle D}$ est par définition :

${\displaystyle {\hat {M}}_{{\mathcal {O}}(D)}=\{z\in D:|f(z)|\leq \sup _{M}|f|;\;\forall f\in {\mathcal {O}}(D)\}.}$

Soit ${\displaystyle K\Subset D}$ un compact. On a les propriétés suivantes^[3] :

${\displaystyle {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}}$ est un fermé de ${\displaystyle D}$ contenant ${\displaystyle K}$. De plus,

${\displaystyle \sup _{\hat {K}}|f|=\sup _{K}|f|;\;\;\forall f\in {\mathcal {O}}(D)}$.

C'est-à-dire,

${\displaystyle {\hat {\hat {K}}}_{{\mathcal {O}}(D)}={\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}}$.

Si ${\displaystyle \varphi :D\rightarrow D'}$ est une application holomorphe entre deux domaines et ${\displaystyle K\Subset D}$ une partie compacte alors :

${\displaystyle \varphi \left({\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\right)\subset {\hat {\varphi \left(K\right)}}_{{\mathcal {O}}(D)}}$.

En particulier,

${\displaystyle D\subset D'\Longrightarrow {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\subset {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D')}\cap D}$.

${\displaystyle {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}}$ est la réunion de ${\displaystyle K}$ et des composantes connexes de ${\displaystyle D\backslash K}$ relativement compactes. Ceci découle principalement du principe du maximum.

Il peut s'avérer utile^[1] d'étudier l'enveloppe ${\displaystyle F}$-convexe d'un compact ${\displaystyle K\Subset D}$ relativement à une sous-classe ${\displaystyle F\subset {\mathcal {O}}(D)}$ de fonctions holomorphes. On la note alors ${\displaystyle {\hat {K}}_{F}}$.

Par exemple si ${\displaystyle F}$ désigne l'ensemble des fonctions linéaires, on retrouve l'enveloppe convexe au sens géométrique.

Si ${\displaystyle F={\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})}$, on appelle ${\displaystyle {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(\mathbb {C} ^{n})}}$ l'enveloppe polynomiale convexe. On peut également définir l'enveloppe rationnelle convexe de la même manière.

Propriété

Si ${\displaystyle F\subset F'\subset {\mathcal {O}}(D)}$ alors ${\displaystyle {\hat {K}}_{F'}\subset {\hat {K}}_{F}}$.

Sans précision, on considère l'enveloppe holomorphiquement convexe par rapport au domaine.

Domaine holomorphiquement convexe^[1]

On dit qu'un domaine ${\displaystyle D}$ est holomorphiquement convexe si : ${\displaystyle K\Subset D\Longrightarrow {\hat {K}}_{{\mathcal {O}}(D)}\Subset D}$.

Remarque^[3]

Un domaine ${\displaystyle D}$ est holomorphiquement convexe si et seulement s'il existe une suite ${\displaystyle \{K_{n}\}_{n}}$ de compacts dans ${\displaystyle D}$ tels que^[3] :

• ${\displaystyle D=\bigcup _{n}K_{n}}$,
• ${\displaystyle {\hat {K_{n}}}=K_{n}}$ pour tout n,
• ${\displaystyle K_{n-1}\subset {\overset {\circ }{K_{n}}}}$

Propriété^[3]

Si ${\displaystyle D}$ est un domaine d'holomorphie et ${\displaystyle K\Subset D}$ alors :

${\displaystyle dist(K,\partial D)=dist({\hat {K}},\partial D)}$.

Théorème^[3]

Un domaine est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est holomorphiquement convexe.

Comme application^[2], tout domaine géométriquement convexe est un domaine d'holomorphie. Un domaine de Reinhardt est un domaine d'holomorphie si et seulement s'il est domaine de convergence d'une série entière^[2].

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