Courbe développante

L'une des développantes de la chaînette (C) (en bleu) est une tractrice (en rouge).
Construction de deux développantes (en rose) d'une parabole semi-cubique (en noir).

En géométrie plane, une développante d'une courbe (C) est une courbe dont (C) est la développée. Une développante est le lieu de l'extrémité d'un fil qu'on enroule ou qu'on déroule sur la courbe (C).

Définition

Si (C) est une courbe régulière et γ {\displaystyle \gamma } son paramétrage par l'abscisse curviligne s {\displaystyle s} , le vecteur tangent γ ′ ( s ) {\displaystyle \gamma '(s)} est unitaire et les développantes de (C) sont données par :

θ ( s ) = γ ( s ) − γ ′ ( s ) ( s 0 + s ) . {\displaystyle \theta (s)=\gamma (s)-\gamma '(s)(s_{0}+s).}

Propriétés

Les développantes de (C) sont parallèles entre elles.

Si en un point, (C) présente un point d'inflexion, alors le point correspondant sur la développante sera un point de rebroussement de deuxième espèce[1].

Exemples

Courbe Point d'origine Développante
cercle quelconque développante du cercle
point quelconque cercle
cycloïde un de ses sommets cycloïde, translatée
cardioïde un de ses sommets cardioïde semblable, de rapport 3
néphroïde un de ses sommets néphroïde semblable, de rapport 2
un de ses points de rebroussement sextique de Cayley
épicycloïde de paramètre q un de ses sommets épicycloïde semblable, de rapport (q + 2)/q
deltoïde un de ses sommets deltoïde semblable, de rapport 1/3
astroïde un de ses sommets astroïde semblable, de rapport 1/2 ou croix de Malte
hypocycloïde de paramètre q un de ses sommets hypocycloïde semblable, de rapport (q – 2)/q
spirale logarithmique son centre spirale logarithmique
chaînette un de ses sommets tractrice
parabole un de ses sommets développante sommitale de parabole
courbe logarithmique quelconque développante d'exponentielle
développante de cercle un de ses points de rebroussement spirale de Norwich

Voir aussi

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Références

  1. ↑ Guillaume François Antoine de L'Hospital, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, Paris, Imprimerie Royale,

Liens externes

v · m
Transformations différentielles des courbes planes
Opération unaire
Opération unaire définie par un point
Opération unaire définie par deux points Strophoïde
Opération binaire définie par un point
Opérations sur une famille de courbes Enveloppe
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