Courbe d'Edwards

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En mathématiques, une courbe d'Edwards est une courbe elliptique découverte par le mathématicien Harold Edwards^[1]. Les courbes d'Edwards, et en particulier leurs variantes dites tordues, font partie des courbes utilisées pour la cryptographie sur les courbes elliptiques^[2]. Bernstein et Lange ont mentionné plusieurs avantages de ces courbes comparativement aux fonctions elliptiques de Weierstrass.

Une courbe d'Edwards sur un corps commutatif K de caractéristique différente de 2 est une courbe d'équation :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2}(1+dx^{2}y^{2})\,}$

pour deux scalaires ${\displaystyle c\in K}$ et ${\displaystyle d\in K\setminus \{0,1\}}$, avec ${\displaystyle cd(1-c^{4}d)\neq 0\,}$.

Le cas particulier ${\displaystyle c=1}$ est très commun, de telle sorte que la formule se réduit le plus souvent à :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2}\,}$

Toutes les courbes d'Edwards sont birationnellement équivalentes à une courbe elliptique de Weierstrass. Tout comme les courbes elliptiques, les courbes d'Edwards peuvent être munies d'une structure de groupe généralement notée additivement.

L'élément neutre est le point ${\displaystyle (0,c)}$.

L'addition est l'opération suivante :

${\displaystyle (x,y)+(u,v)\mapsto \left({\frac {xv+uy}{c(1+dxuyv)}},{\frac {yv-xu}{c(1-dxuyv)}}\right)\,}$

L'opposé d'un point ${\displaystyle (x,y)}$ est le point ${\displaystyle (-x,y)}$.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Edwards curve » (voir la liste des auteurs).

• Courbe elliptique
• Fonction elliptique de Weierstrass
• Courbe d'Edwards tordue

• (en) Edwards curves sur hyperelliptic.org

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