Corps valué
En mathématiques, un corps valué est un corps K muni d'une valeur absolue [1]. Celle-ci détermine sur K une structure d'espace métrique définie par la distance invariante , et K, muni de la topologie métrisable ainsi définie, est un corps topologique.
Par exemple, toute valuation à valeurs réelles sur K permet de définir une valeur absolue sur K (la réciproque n'est vraie que pour les valeurs absolues ultramétriques[2]). Pour cette raison, certains auteurs[Qui ?][réf. souhaitée] appellent corps valué tout corps muni d'une valuation.
La topologie d'un corps valué est discrète si, et seulement si la valeur absolue est triviale, c'est-à-dire issue de la valuation triviale[3].
L'anneau complété d'un corps valué est un corps valué[4].
Soient un corps muni d'une distance associée à une valuation et l'anneau complété. Par prolongement des identités, est invariante par translations et l'application (qui prolonge ) est une valuation sur . L'application est -lipschitzienne sur pour tout . Elle s'étend donc continûment en une application définie sur .
Notes et références
- ↑ Bourbaki, Définition 3.
- ↑ Jean-Pierre Serre, Corps locaux [détail des éditions] p. 36, qui mentionne de plus une caractérisation des valeurs absolues non ultramétriques.
- ↑ Remarque : tout espace vectoriel à gauche sur un corps valué discret est un espace vectoriel topologique pour la topologie discrète ; il n'en est pas ainsi pour un espace vectoriel non nul sur un corps valué non discret.
- ↑ Bourbaki, Proposition 7.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. IX.3 (« Utilisation des nombres réels en topologie générale: Groupes métrisables; corps valués; espaces et algèbres normés »), p. 28-31
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