Conjecture de torsion

En géométrie algébrique et en théorie des nombres, la conjecture de torsion des variétés abéliennes stipule que l'ordre du groupe de torsion d'une variété abélienne sur un corps de nombres peut être borné en termes de dimension de la variété (en) et du corps de nombre. Une version renforcée de la conjecture est que la torsion est bornée en termes de dimension de la variété et du degré du corps. La conjecture de torsion a été complètement résolue dans le cas des courbes elliptiques.

Courbes elliptiques

De 1906 à 1911, Beppo Levi a publié une série d'articles étudiant les ordres finis possibles de points sur des courbes elliptiques sur les rationnels^[1]. Il a montré qu'il existe une infinité de courbes elliptiques sur les rationnels avec les groupes de torsion suivants :

C_n avec 1 ≤ n ≤ 10, où C_n désigne le groupe cyclique d'ordre n ;
C₁₂ ;
C_2n × C₂ avec 1 ≤ n ≤ 4, où × désigne la somme directe.

Au Congrès international de mathématiques de 1908 à Rome, Levi a conjecturé que cette liste de groupes de torsion pour les courbes elliptiques sur les rationnels était exhaustive^[1]. La conjecture de torsion pour les courbes elliptiques sur les rationnels a été indépendamment reformulée par Trygve Nagell (1952) et par Andrew Ogg (1971), la conjecture devenant connue sous le nom de conjecture d'Ogg^[1].

Andrew Ogg (1971) fait le lien entre la conjecture de torsion pour les courbes elliptiques à coefficients rationnels et la théorie des courbes modulaires classiques (en).^[1] Au début des années 1970, les travaux de Gérard Ligozat, Daniel Kubert, Barry Mazur, et John Tate ont montré que certaines petites valeurs de n n'apparaisse jamais comme ordre de points de torsion.^[1] Barry Mazur (1977, 1978) montre la conjecture sur les courbes elliptiques à coefficients rationnels. Sa méthode est généralisée par Kamienny (1992) and Kamienny & Mazur (1995), qui obtiennent respectivement une borne uniforme sur les corps quadratiques et corps de nombres de degré au plus 8. Finalement, Loïc Merel (1996) montre la conjecture pour les courbes elliptiques sur l'ensemble des corps de nombres.^[1]

Une limite effective pour la taille du groupe de torsion en termes de degré du corps de nombre est donnée par . Une liste exhaustive des groupes de torsion possibles a également été donnée pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres quadratiques. Il existe des résultats partiels pour les corps de nombres quartiques et quintiques (Sutherland 2012).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Torsion conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b c d e et f} Schappacher et Schoof 1996, p. 64–65.

Bibliographie

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Kamienny et Mazur, « Rational torsion of prime order in elliptic curves over number fields », Astérisque, vol. 228,‎ 1995, p. 81–100 (MR 1330929)
Mazur, « Modular curves and the Eisenstein ideal », Publications Mathématiques de l'IHÉS, vol. 47, n^o 1,‎ 1977, p. 33–186 (DOI 10.1007/BF02684339, MR 0488287, S2CID 122609075, lire en ligne)
Barry Mazur, Rational isogenies of prime degree, vol. 44, 1978, 129–162 p. (DOI 10.1007/BF01390348, Bibcode 1978InMat..44..129M, MR 0482230, S2CID 121987166)
Merel, « Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres », Inventiones Mathematicae, vol. 124, n^o 1,‎ 1996, p. 437–449 (DOI 10.1007/s002220050059, Bibcode 1996InMat.124..437M, MR 1369424, S2CID 3590991)
Trygve Nagell, Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim 1949, Oslo, Johan Grundt Tanum forlag (no), 1952, 71–76 p., « Problems in the theory of exceptional points on plane cubics of genus one »
Ogg, « Rational points of finite order on elliptic curves », Inventiones Mathematicae, vol. 22,‎ 1971, p. 105–111
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Parent, « Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1999, n^o 506,‎ 1999, p. 85–116 (DOI 10.1515/crll.1999.009, MR 1665681, arXiv alg-geom/9611022)
Norbert Schappacher et René Schoof, Beppo Levi and the arithmetic of elliptic curves, vol. 18, 1996, 57–69 p. (DOI 10.1007/bf03024818, MR 1381581, zbMATH 0849.01036, lire en ligne)
Andrew V. Sutherland, Torsion subgroups of elliptic curves over number fields, 2012 (lire en ligne)