Conjecture de Nagata

En mathématiques, la conjecture de Nagata sur les courbes régit le degré minimal requis pour qu'une courbe algébrique plane passe par un ensemble de points à multiplicités prescrites. Elle a été proposée en 1959 par le mathématicien japonais Masayoshi Nagata.

Nagata énonce sa conjecture par son travail sur le 14^e problème de Hilbert, qui demande si l'anneau invariant d'une action de groupe linéaire sur l'anneau polynomial k[x₁, ..., x_n] sur un corps k est de type fini. Nagata publie la conjecture dans un article de 1959 dans l'American Journal of Mathematics, dans lequel il présente un contre-exemple au 14^e problème de Hilbert.

Conjecture de Nagata. Soient p₁, ..., p_r des points de P² et m₁, ..., m_r des entiers positifs. Alors pour r > 9 toute courbe C dans P² passant par chacun des points p_i de multiplicité m_i doit satisfaire

${\displaystyle \deg C>{\frac {1}{\sqrt {r}}}\sum _{i=1}^{r}m_{i}.}$

La condition r > 9 est nécessaire.

Le seul cas où la conjecture est démontrée est celui où r est un carré parfait, prouvé par Nagata. Malgré l'intérêt porté à cet énoncé, les autres cas restent ouverts. Une formulation plus moderne de cette conjecture est souvent donnée en termes de constantes de Seshadri et a été généralisée à d'autres surfaces sous le nom de conjecture de Nagata-Biran.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nagata's conjecture on curves » (voir la liste des auteurs).

• Brian Harbourne, « On Nagata's conjecture », Journal of Algebra, vol. 236, n^o 2,‎ 2001, p. 692–702 (DOI 10.1006/jabr.2000.8515, MR 1813496, arXiv math/9909093)
• Masayoshi Nagata, « On the 14-th problem of Hilbert », American Journal of Mathematics, vol. 81, n^o 3,‎ 1959, p. 766–772 (DOI 10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0105409)
• Beata Strycharz-Szemberg et Tomasz Szemberg, « Remarks on the Nagata conjecture », Serdica Mathematical Journal, vol. 30, n^os 2–3,‎ 2004, p. 405–430 (MR 2098342, hdl 10525/1746)

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