Dans un espace affine euclidien E {\displaystyle E} , un champ de vecteurs ( V P → ) P ∈ E {\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}} est équiprojectif [ 1] si :
∀ P ∈ E , ∀ Q ∈ E , ( V P → | P Q → ) = ( V Q → | P Q → ) {\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})} où ( ⋅ | ⋅ ) {\displaystyle (\cdot |\cdot )} désigne le produit scalaire.
Il existe alors un endomorphisme antisymétrique u {\displaystyle u} tel que :
∀ P ∈ E , ∀ Q ∈ E , V Q → = V P → + u ( P Q ) → {\displaystyle \forall P\in E,\forall Q\in E,{\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+u({\overrightarrow {PQ)}}} . Cette notion est utilisée en physique, voir Équiprojectivité en physique .
Démonstration de l'existence de l'endomorphisme
Antisymétrie Soit O {\displaystyle O} un point arbitraire de E {\displaystyle E} . Pour tout vecteur x → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}} , il existe un unique point P {\displaystyle P} tel que x → = O P → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}} et on définit u {\displaystyle u} par u ( x → ) = V P → − V O → {\displaystyle u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}} .
Montrons que, pour tous vecteurs x → = O P → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}={\overrightarrow {OP}}} et y → = O Q → {\displaystyle {\overrightarrow {y}}={\overrightarrow {OQ}}} , on a :
( u ( x → ) | y → ) = − ( x → | u ( y → ) ) {\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))} ce qui prouve l'antisymétrie de u {\displaystyle u} [ 2] .
On a en effet :
( u ( x → ) | y → ) = ( V P → − V O → | O Q → ) = ( V P → | O Q → ) − ( V O → | O Q → ) {\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=({\overrightarrow {V_{P}}}-{\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})=({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{O}}}|{\overrightarrow {OQ}})} = ( V P → | O Q → ) − ( V Q → | O Q → ) {\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})} en utilisant l'équiprojectivité du champ V {\displaystyle V} = ( V P → | O P → + P Q → ) − ( V Q → | O Q → ) {\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}}+{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})} = ( V P → | O P → ) + ( V P → | P Q → ) − ( V Q → | O Q → ) {\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})} = ( V P → | O P → ) + ( V Q → | P Q → ) − ( V Q → | O Q → ) {\displaystyle =({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})+({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {PQ}})-({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})} en utilisant de nouveau l'équiprojectivité. Si on échange les rôles de x → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}} et y → {\displaystyle {\overrightarrow {y}}} , on obtiendra :
( x → | u ( y → ) ) = ( u ( y → ) | x → ) = ( V Q → | O Q → ) + ( V P → | Q P → ) − ( V P → | O P → ) {\displaystyle ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=(u({\overrightarrow {y}})|{\overrightarrow {x}})=({\overrightarrow {V_{Q}}}|{\overrightarrow {OQ}})+({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {QP}})-({\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {OP}})} On obtient bien :
( u ( x → ) | y → ) = − ( x → | u ( y → ) ) {\displaystyle (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=-({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))}
Linéarité On déduit de l'antisymétrie que u {\displaystyle u} est linéaire. En effet, pour tout x → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}} , y → {\displaystyle {\overrightarrow {y}}} , λ {\displaystyle \lambda } , on a :
( u ( λ x → ) | y → ) = − ( λ x → | u ( y → ) ) = − λ ( x → | u ( y → ) ) = λ ( u ( x → ) | y → ) = ( λ u ( x → ) | y → ) {\displaystyle \left(u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)|{\overrightarrow {y}}\right)=-(\lambda {\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=-\lambda ({\overrightarrow {x}}|u({\overrightarrow {y}}))=\lambda (u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})=(\lambda u({\overrightarrow {x}})|{\overrightarrow {y}})} Cette égalité étant vraie pour tout y → {\displaystyle {\overrightarrow {y}}} , on en déduit que :
u ( λ x → ) = λ u ( x → ) {\displaystyle u\left(\lambda {\overrightarrow {x}}\right)=\lambda u\left({\overrightarrow {x}}\right)} On procède de même pour montrer que :
u ( x → + x ′ → ) = u ( x → ) + u ( x ′ → ) {\displaystyle u({\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {x'}})=u({\overrightarrow {x}})+u({\overrightarrow {x'}})}
Cas de la dimension 3, torseur Article détaillé : Torseur.
Dans une base orthonormée directe, u {\displaystyle u} , étant un endomorphisme antisymétrique, possède une matrice antisymétrique [ 1]
( 0 − c b c 0 − a − b a 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\\\end{pmatrix}}} Si on nomme Ω → {\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}} le vecteur de composantes ( a b c ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}} , alors la matrice précédente est celle de l'application x → ↦ Ω → ∧ x → {\displaystyle {\overrightarrow {x}}\mapsto {\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}} .
On a donc ∀ x → , u ( x → ) = Ω → ∧ x → {\displaystyle \forall {\overrightarrow {x}},u({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {x}}} et donc
V Q → = V P → + Ω → ∧ P Q → {\displaystyle {\overrightarrow {V_{Q}}}={\overrightarrow {V_{P}}}+{\overrightarrow {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {PQ}}} ( V P → ) P ∈ E {\displaystyle ({\overrightarrow {V_{P}}})_{P\in E}} est le champ des moments d'un torseur de résultante Ω → {\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}} .
Exemple L'exemple typique de champ équiprojectif en dimension 3 est le champ des vitesses d'un solide en mouvement. En effet, si P {\displaystyle P} et Q {\displaystyle Q} sont deux points du solide, et si on note d {\displaystyle d} la distance entre P {\displaystyle P} et Q {\displaystyle Q} , on a :
‖ P Q → ‖ 2 = d 2 = ( P Q → | P Q → ) {\displaystyle \|{\overrightarrow {PQ}}\|^{2}=d^{2}=\left({\overrightarrow {PQ}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)} et en dérivant par rapport au temps :
( V Q → − V P → | P Q → ) = 0 {\displaystyle \left({\overrightarrow {V_{Q}}}-{\overrightarrow {V_{P}}}|{\overrightarrow {PQ}}\right)=0} où V → {\displaystyle {\overrightarrow {V}}} désigne la vitesse en un point.
Le champ des vitesses est donc un torseur. Le vecteur Ω → {\displaystyle {\overrightarrow {\Omega }}} s'appelle vecteur instantané de rotation.
Notes et références ↑ a et b « Champ de vecteurs - Champ de vecteurs équiprojectif », sur jdotec.net (consulté le 1er octobre 2010 ) ↑ « Cinématique du solide » [PDF] , sur melusine.eu.org (consulté le 1er octobre 2010 )
Voir aussi
Bibliographie E. Ramis , C. Deschamps et J. Odoux , Algèbre et applications à la géométrie , Paris/New York/Barcelone/1987, Masson, coll. « Cours de mathématiques spéciales » (no 2), 1987 , 297 p. (ISBN 2-225-63404-1 ) , chap. 8 (« Les torseurs »), p. 276-294
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