Antichaîne
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En mathématiques, plus précisément en théorie des ordres, une antichaîne est une partie d'un ensemble partiellement ordonné dont les éléments sont deux à deux incomparables[1]. La notion est ainsi nommée par opposition aux chaînes qui sont des parties d'un ensemble ordonné dont les éléments sont toujours deux à deux comparables.
Dit autrement, étant donné un ensemble muni d'une relation d'ordre , un sous-ensemble est une antichaîne de si pour tout de ,
Une antichaîne est dite maximale si elle n'est incluse (strictement) dans aucune autre antichaîne.
L'ensemble de toutes les antichaînes d'un ensemble fini partiellement ordonné peut être muni des opérations d'union et d'intersection pour en faire un treillis distributif.
Dénombrer les antichaînes d'un ensemble ordonné fini est un problème #P-complet.
Largeur et hauteur d'un ensemble ordonné
On peut noter que pour tout ensemble partiellement ordonné, l'intersection d'une antichaîne et d'une chaîne ne peut contenir au plus qu'un seul élément. Par le principe des tiroirs, on en déduit que si l'on partitionne cet ensemble en un nombre de chaînes (resp. d'antichaînes), la plus longue antichaîne (resp. chaîne) ne peut être de cardinal supérieur à . De façon intéressante les deux bornes sont atteintes et ceci amène à définir la largeur et la hauteur de l'ensemble.
Le cardinal de la plus grande antichaîne d'un ensemble partiellement ordonné est la largeur de cet ensemble. De par le théorème de Dilworth[2], la largeur correspond aussi au nombre minimale de chaînes nécessaires pour partitionner l'ensemble. Par dualité, la hauteur d'un ensemble partiellement ordonné correspond à la longueur de la plus grande chaîne de cet ensemble et au nombre minimal d'antichaînes nécessaire pour le partitionner, c'est le théorème de Mirsky[3].
Exemples
Ordre total
Les antichaînes d'un ensemble totalement ordonné sont les singletons et l'ensemble vide. Par conséquent, la largeur d'un ordre total est 1.
Ensemble des parties d'un ensemble et inclusion
Soit l'ensemble des parties d'un ensemble donné , muni de la relation d'inclusion, on appelle famille de Sperner une antichaîne de .
Si est fini de cardinal , le nombre d'antichaînes est un nombre de Dedekind , et La largeur de pour l'inclusion est, d'après le théorème de Sperner : .
Prenons le cas particulier des parties d'un ensemble à 3 éléments , dont la figure ci-dessous représente le diagramme de Hasse.
![Diagramme de Hasse d'un ensemble à 3 éléments.](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg/240px-Hasse_diagram_of_powerset_of_3.svg.png)
On compte en tout M(3) = 20 antichaines possibles. Ses antichaînes maximales sont :
- ,
- , ,
- , .
Sa largeur est égale à 3, le cardinal des deux plus grandes antichaînes, qui est bien égal à .
ℕ muni de la divisibilité
Considérons l'ensemble N des entiers naturels, ordonné par la divisibilité.
Pour tout entier naturel , la largeur de {1, 2… , 2} (muni de l'ordre induit) est . De plus, dans cet ensemble ordonné, un élément de la forme 2kc avec c impair appartient à une antichaîne maximale (i.e. de cardinal ) si et seulement si .
Antichaîne infinie
Un bel ordre est un ordre partiel bien fondé sans antichaîne infinie.
Applications en informatique
Les antichaînes sont utilisées en informatique comme une structure de données efficace en model checking[4],[5].
Voir aussi
Articles connexes
- Antichaîne forte (en)
- Chaîne
- Théorème de Dilworth
- Famille de Sperner
- Nombre de dedekind
Lien externe
(en) Eric W. Weisstein, « Antichain », sur MathWorld
Références
- ↑ Nathalie Caspard, Bruno Leclerc et Bernard Monjardet, Ensembles ordonnés finis : concepts, résultats et usages, Springer, (lire en ligne), p. 19.
- ↑ Robert P. Dilworth, « A decomposition theorem for partially ordered sets », Annals of Mathematics, vol. 51, no 1, , p. 161–166 (DOI 10.2307/1969503, JSTOR 1969503)
- ↑ Leon Mirsky, « A dual of Dilworth's decomposition theorem », American Mathematical Monthly, vol. 78, no 8, , p. 876–877 (DOI 10.2307/2316481, JSTOR 2316481)
- ↑ (en) M. De Wulf, L. Doyen, N. Maquet et J.-F. Raskin, « Antichains: Alternative Algorithms for LTL Satisfiability and Model-Checking », Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems, Springer, Berlin, Heidelberg, lecture Notes in Computer Science, , p. 63–77 (ISBN 9783540787990, DOI 10.1007/978-3-540-78800-3_6, lire en ligne, consulté le )
- ↑ (en) « Antichains »
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