Algèbre de Lie Monstre

En mathématiques, l'algèbre de Lie Monstre est une algèbre de Kac-Moody généralisée (en) de dimension infinie sur laquelle agit le groupe Monstre, qui a été utilisée pour prouver les conjectures du « Monstrous moonshine ».

L'algèbre de Lie monstre est une algèbre de Lie graduée sur Z². La composante de degré (m, n) est de dimension c_mn si (m, n) ≠ (0, 0) et de dimension 2 si (m, n) = (0, 0), où les entiers c_n sont les coefficients de qⁿ du j-invariant, vu comme fonction modulaire elliptique

${\displaystyle j(q)-744={1 \over q}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .}$

La sous-algèbre de Cartan est le sous-espace de dimension 2 de degré (0, 0), de sorte que l’algèbre de Lie Monstre est de rang 2.

L'algèbre de Lie Monstre n'a qu'une seule racine réelle simple, donnée par le vecteur (1, −1) ; le groupe de Weyl est d'ordre 2, il agit par la volte (m, n) → (n, m). Les racines imaginaires simples sont les vecteurs (1, n) pour n entier naturel non nul, elles sont de multiplicité c_n.

La formule du dénominateur de l'algèbre de Lie Monstre est la formule du produit du j-invariant :

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}\right)\prod _{m,n=1}^{\infty }(1-p^{m}q^{n})^{c_{mn}}.}$

La formule du dénominateur, parfois appelée « identité de produit infini de Koike-Norton-Zagier », a été découverte dans les années 1980. Plusieurs mathématiciens, dont Masao Koike, Simon P. Norton et Don Zagier, ont fait cette découverte de manière indépendante^[1].

On dispose de deux façons de construire l'algèbre de Lie Monstre^{[réf. nécessaire]}. Comme il s'agit d'une algèbre de Kac-Moody généralisée dont les racines simples sont connues, elle peut être définie de façon explicite par générateurs et relations ; cependant, cette présentation ne permet pas de lire une action du groupe Monstre.

Elle peut également être construite à partir de l'algèbre vertex du Monstre en utilisant le théorème de Goddard-Thorn (en) en théorie des cordes. Cette construction est beaucoup plus difficile mais elle donne une action naturelle du groupe Monstre^[1].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monster Lie algebra » (voir la liste des auteurs).

• Richard Borcherds, « Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster », Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 83, n^o 10,‎ 1986, p. 3068-71 (PMID 16593694, PMCID 323452, DOI 10.1073/pnas.83.10.3068 , Bibcode 1986PNAS...83.3068B)
• Igor Frenkel, James Lepowsky et Arne Meurman, Vertex operator algebras and the Monster, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (n^o 134), 1988 (ISBN 0-12-267065-5, lire en ligne)
• Victor Kac, Vertex algebras for beginners, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series » (n^o 10), 1996 (ISBN 0-8218-0643-2) ; Victor Kac, deuxième édition revue et augmentée, 1998 (ISBN 0-8218-1396-X, lire en ligne)
  • (en) Victor Kac, « Corrections to the book "Vertex algebras for beginners", second edition, by Victor Kac », 1999.
• Roger W. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, coll. « Cambridge Studies in Advanced Mathematics » (n^o 96), 2005 (ISBN 0-521-85138-6) (texte introductif contenant une brève présentation de l'algèbre de Borcherds dans le chapitre 21)

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• Algèbre vertex du Monstre

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