Équation xʸ=yˣ
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En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation tient dans des cas particuliers, tels que
Histoire
L'équation est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec les seules solutions d'entiers naturels sont et bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach () contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant . Une solution similaire a été trouvée par Euler.
J. van Hengel a souligné que si sont des entiers positifs avec alors il suffit donc d'envisager les possibilités et afin de trouver des solutions entières.
Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition[1] qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques[2].
Solutions réelles positives
Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par .
Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant et en posant . Ainsi,
En élevant les deux côtés à la puissance et en divisant par ,
Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont
Avec ou cela génère les solutions non-triviales entières, .
Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite . Ceci est fait en remplaçant avec , ainsi
Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equation xʸ = yˣ » (voir la liste des auteurs).
- ↑ « 21st Putnam 1960. Problem B1 » [archive du ], .
- ↑ (en) Alvin Hausner, « Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm », The American Mathematical Monthly, vol. 68, no 9, , p. 856-861 (JSTOR 2311682).
- Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers, vol. II, Washington, , 687 p. (lire en ligne), « Rational solutions of xy = yx »
- David Singmaster, « Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition » (version du sur Internet Archive)
- Marta Sved, « On the Rational Solutions of xy = yx », Mathematics Magazine, (lire en ligne [archive du ])
- (en) A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly (The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1), The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions : 1938-1964, New York, MAA, , 59 p. (ISBN 0-88385-428-7, lire en ligne)
- (de) Johann van Hengel, « Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt », Bericht : über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876), , p. 9-12 (lire en ligne)
- (en) Lajos Lóczi, « On commutative and associative powers » [archive du ], KöMaL (en), traduction de : (hu) Lajos Lóczi, « Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? » [archive du ], sur komal.hu (en),
Liens externes
- « Rational Solutions to x^y = y^x », CTK Wiki Math, sur CTK Wiki Math
- « x^y = y^x - commuting powers » [archive du ], Arithmetical and Analytical Puzzles, sur Arithmetical and Analytical Puzzles, Torsten Sillke
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