Yleistetty Riemannin hypoteesi

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Yleistetyn Riemannin hypoteesin (Dirichlet'n L-funktioille) muotoili todennäköisesti ensimmäisen kerran Adolf Piltz vuonna 1884. Kuten tavallisella Riemannin hypoteesillä, myös yleistetyllä hypoteesillä on pitkälle meneviä seurauksi alkulukujen jakaumasta.

Formaali muotoilu hypoteesille on seuraava: Dirichlet'n karakteri on täysin multiplikatiivinen aritmeettinen funktio ${\displaystyle \chi }$ siten että on olemassa positiivinen kokonaisluku k jolle χ(n + k) = χ(n) kaikilla n χ(n) = 0 kun gcd(n, k) > 1. Jos tällainen karakteri on olemassa, määritellään vastaava Drichlet'n L-funktio asettamalla

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

kaikilla kompleksiluvuilla s, joiden reaaliosa on suurempi kuin yksi. Tämä voidaan jatkaa analyyttisellä jatkeella koko kompleksitason meromorfiseksi funktioksi. Yleistetyn Riemannin hypoteesi kuuluu seuraavasti: Jos jokaisella Dirichlet'n karakterilla ${\displaystyle \chi }$ ja jokaisella kompleksiluvulla ${\displaystyle s}$, joilla ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} s<1}$ on voimassa ${\displaystyle L(\chi ,s)=0,}$ niin ${\displaystyle s=1/2.}$

Tapauksessa ${\displaystyle \chi (n)=1}$ kaikilla ${\displaystyle n}$ väite pelkistyy tavalliseksi Riemannin hypoteesiksi.