Vuorotteleva sarja

Vuorotteleva sarja tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a_{k}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\ldots }$

oleva sarja, missä ${\displaystyle \,a_{k}>0\,\,}$ jokaisella ${\displaystyle \,k=1,2,\ldots }$

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a_{k}=a_{1}-a_{2}+\ldots +a_{n}}$

muodostama jono ${\displaystyle (S_{n})_{n=0}^{\infty }}$ suppenee.

Leibnizin kriteerio, toiselta nimeltään Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

Lause: Sarja

${\displaystyle S=u_{1}-u_{2}+u_{3}-\ldots +u_{2n-1}-u_{2n}+\ldots ,}$

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

${\displaystyle u_{0}>u_{1}>u_{2}>\ldots >u_{n}>\ldots >0,\;{\text{ja }}\;\lim _{k\to \infty }a_{k}=0.}$

Todistus: Oletetaan, että positiiviterminen jono ${\displaystyle (u_{k})}$ suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan ${\displaystyle S}$ termit kaksittain

${\displaystyle S=(u_{1}-u_{2})+(u_{3}-u_{4})+\ldots +(u_{2k-1}-u_{2k}\ldots ),}$

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

${\displaystyle S_{2}<S_{4}<S_{6}\ldots <S_{2n}<\ldots .}$

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme

${\displaystyle S=u_{1}-(u_{2}-u_{3})-(u_{4}-u_{5})-\ldots .}$

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

${\displaystyle S_{1}>S_{3}>S_{5}>\ldots >S_{2n-1}>\ldots .}$

Yhtälöstä

${\displaystyle S_{2n}-S_{2n-1}=-u_{2n}}$

seuraa edelleen, että

${\displaystyle S_{2n-1}>S_{2n},}$

oli summausindeksi ${\displaystyle n}$ mikä hyvänsä. Lopulta, koska oletimme ehdon ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=0}$ olevan voimassa, saamme

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{2n-1}=0.}$

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa ${\displaystyle S}$. ^[1] Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono ${\displaystyle S_{n}}$ suppenee ja

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=S.}$

Vuorottelevan sarjan summaa ${\displaystyle S}$ voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia ${\displaystyle S_{n}}$. Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

${\displaystyle S-S_{n}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}=\sum _{k=n+1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}=u_{n+1}-(u_{n+2}-u_{n+3})-(u_{n+4}-u_{n+5})-\ldots \leq u_{n+1}}$

ja näin saadaan virhetermille arvio

${\displaystyle |R_{n}|=|S-S_{n}|=|\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u_{k}-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u_{k}|\leq |u_{n+1}|}$

Sarja ${\displaystyle \sum u_{k}}$ on itseisesti suppeneva, jos sarja ${\displaystyle \sum |u_{k}|}$ suppenee.

Lause: Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

Todistus: Oletetaan, että sarja ${\displaystyle \sum u_{k}}$ suppenee itseisesti. Tällöin sarjat ${\displaystyle \sum |u_{k}|}$ ja ${\displaystyle \sum 2|u_{k}|}$ suppenevat.

Koska epäyhtälöt

${\displaystyle 0\leq u_{k}+|u_{k}|\leq 2|u_{k}|}$

ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja ${\displaystyle \sum u_{k}+|u_{k}|}$ suppenee.

Näin ollen ${\displaystyle \sum a_{k}}$ suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä

${\displaystyle \sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|.}$

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.^[2]

Sarja suppenee ehdollisesti, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}$

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$ hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

${\displaystyle \ln(2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .}$

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}}$

jolloin päädyttäisiin tulokseen

${\displaystyle \ln(2)={\frac {1}{2}}\ln(2),}$

mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

• Sarja (matematiikka)
• Harmoninen sarja

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.