Toisen asteen polynomifunktio

Toisen asteen polynomi eli kvadraattinen funktio on matematiikassa polynomifunktio, jonka asteluku on 2. Se on yleinen yhden muuttujan funktio, joka voidaan esittää muodossa

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\qquad a,b,c\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0}$

missä a, b ja c ovat reaalilukukertoimia. Funktion kuvaajan muoto on paraabeli. Kvadraattisia funktioita voidaan määritellä myös moniulotteisessa avaruudessa, jolloin sen ominaisuudet muuttuvat. Kvadraattisia funktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla.

Kaikki toisen asteen polynomifunktion kuvaajat ovat paraabeleja. Paraabelilla on aina huippu, joka sijaitsee symmetria-akselilla. Huipusta lähtien kuvaajan vasenta ja oikeaa puoliskoa kutsutaan paraabelin kyljeksi. Paraabelin kuvaaja on symmetria-akselin suhteen oma peilikuvansa eli vasen ja oikea kylki sijaitsevat yhtä kaukana akselista. Kyljet kaartuvat akseliin päin, mutta etääntyvät akselista kuitenkin loputtomasti. Tämä tarkoittaa sitä, että funktio on määritelty kaikille reaaliluvuille.

Paraabelin huippu sijaitsee kohdassa ${\displaystyle x_{h}={\frac {-b}{2a}}}$. Funktio saa tässä kohtaa ${\displaystyle x_{h}}$ arvon ${\displaystyle f(x_{h})=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$. Se on funktion ääriarvona joko sen maksimikohta, kun a < 0, tai sen minimikohta, kun a > 0.

Symmetria-akselin analyyttinen yhtälö on ${\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}}$, joka on pystysuora.

Parametri a määrää funktion kuvaajan terävyyden ja aukeamissuunnan. Kun kerroin a on positiivien reaaliluku, aukeaa paraabeli ylöspäin. Kun a on negatiivinen, aukeaa se alaspäin. On huomattava, ettei a voi olla 0, koska funktio ei silloin ole toista astetta.

Parametri b vaikuttaa paraabelin sijaintiin koordinaatistossa sekä sivu- että pystysuunnassa, mutta ei vaikuta paraabelin terävyyteen tai muulla tavalla sen muotoon. Eri b:n arvoilla paraabelin toinen kylki kulkee origon kautta ja huippu sijaitsee koordinaatistossa käyrällä ${\displaystyle y=c-{\frac {1}{4a}}x^{2}}$.

Kun parametri c eli vakiotermi kasvaa, sijoittuu paraabelin kuvaaja koordinaatistossa ylemmäksi. Vakion c pienentyessä vajoaa kuvaaja alaspäin.

Toisen asteen polynomifunktiolla ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ on kolme erikoistapausta riippuen sen parametrien arvoista.

• Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c = 0, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$. Tätä kutsutaan toisen asteen potenssifunktioksi. Tämän funktion kuvaaja kulkee origon kautta. Jos a = 1, on kuvaaja paraabeli ${\displaystyle y=x^{2}}$.

• Kun a ≠ 0 ja b = 0 ja c ≠ 0, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+c}$. Tämän funktion kuvaaja kulkee symmetrisesti siten, että y-akseli jakaa kuvaajan kahteen peilikuvamaiseen puoliskoon.

• Kun a ≠ 0 ja b ≠ 0 ja c = 0, saadaan ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx}$. Tämän funktion kuvaaja kulkee aina origon kautta, mutta ei ole sijoittunut minkään akselin suhteen symmetrisesti.

Toisen asteen polynomifunktion nollakohdat saadaan toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisuista. Ne voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä tai soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa.

Toisen asteen polynomifunktion lauseke voidaan esittää kolmessa eri muodossa.

• Yleinen muoto: ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$
• Yhtälössä tekijät näkyvissä: ${\displaystyle f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!}$, jossa ${\displaystyle x_{1}}$ ja ${\displaystyle x_{2}}$ ovat funktion nollakohdat.
• Yhtälössä näkyvät huipun koordinaatit: ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$, jossa kuvaajan huipun koordinaatit ovat (h,k).

Toisen asteen polynomifunktio on parillinen funktio, kun kerroin b = 0 eli ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+c}$. Silloin funktio saa saman arvon vastalukujensa s ja -s kohdissa eli ${\displaystyle f(s)=f(-s)}$, koska ${\displaystyle f(\pm s)=a(\pm s)^{2}+c=as^{2}+c}$.

Toisen asteen funktio ei ole monotoninen määrittelyjoukossaan. Sen sijaan, jos määrittelyjoukosta valitaan väli, johon ei sisälly funktion kuvaajan huipun kohta ${\displaystyle x_{h}}$, on funktio tällä välillä monotoninen.

Toisen asteen funktiolla ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole monotoninen. Jos funktion määrittelyjoukkoa rajoittaa sellaiselle välille, jossa funktio on monotoninen, voidaan käänteisfunktion lauseke muodostaa.

Yksinkertaisimman toisen asteen potenssifunktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ käänteisfunktio on neliöjuurifunktio. Jos valitaan väli positiivisista reaalilukujen joukosta, saadaan käänteisfunktioksi ${\displaystyle f^{-1}(x)={\sqrt {x}}}$. Jos valitaan väli negatiivisista luvuista, tulee käänteisfunktioksi ${\displaystyle f^{-1}(x)=-{\sqrt {x}}}$. Muutkin kvadraattisen funktion käänteisfunktiot sisältävät neliöjuurifunktion.

Toisen asteen polynomifunktion derivaattafunktio on ${\displaystyle f'(x)=2ax+b}$. Derivaattafunktion nollakohta on aina samassa kohtaa kuvaajan huipun kanssa. Funktion toinen derivaatta on ${\displaystyle f''(x)=2a}$ ja kolmas derivaatta ${\displaystyle f'''(x)=0}$.

Sen integraalifunktio on ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{3}}ax^{3}+{\frac {1}{2}}bx^{2}+cx+C}$, missä C on integraalivakio.

Funktion määrätty integraali

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

voidaan laskea myös Simpsonin säännöllä tarkasti:

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {b-a}{3}}\left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}$

Kun funktio on määritelty ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F\,\!}$,

on kyseessä kahden muuttujan toisen asteen polynomifunktio. Tämän tapaisia funktioita käytetään kenttäteoriassa ja niiden kuvaajat ovat kaarevia pintoja kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa. Asettamalla funktio ${\displaystyle f(x,y)\,\!}$ nollaksi, saadaan pinnan ja vaakatason ${\displaystyle z=0}$ leikkauskuvio, joita kutsutaan toisen asteen käyriksi. Toinen yleinen nimitys näille on kartioleikkaus.

• Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G.: College Algebra. , 2007.

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

• Wolfram Mathworld: Sana kvadraattinen (englanniksi)
• Aalto-yliopisto, Systeemianalyysin laboratorio: Luento 8: Epälineaarinen optimointi^{[vanhentunut linkki]}