Rajoitetusti heilahteleva kuvaus

Rajoitetusti heilahtelevuus on esimerkiksi reaalifunktioiden ja stokastisten prosessien ominaisuus. Rajoitetusti heilahteleva funktio voidaan mieltää kuvaajaltaan riittävän sileäksi erilaisiin laskutoimituksiin. Rajoitetusti heilahtelevuuden määritelmä poikkeaa käyttöyhteydestä riippuen.

Kuvausta, joka ei ole rajoitetusti heilahteleva, kutsutaan rajoittamattomasti heilahtelevaksi.

Olkoon ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$. Funktio ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ on rajoitetusti heilahteleva, jos pätee

${\displaystyle \sup \left.\left\{\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_{i})|\,\right|\,a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\ {\textrm {ja}}\ n\in \mathbb {N} \right\}<\infty }$.

${\displaystyle f}$ on rajoitetusti heilahteleva jos ja vain jos on olemassa hajotelma ${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$, missä funktiot ${\displaystyle f_{1}}$ ja ${\displaystyle f_{2}}$ ovat kasvavia.

• MathWorld. Bounded Variation