Positiivisesti definiitti matriisi

Positiivisesti definiitti matriisi on hermiittinen matriisi, jolla on monia samoja ominaisuuksia kuin positiivisilla reaaliluvuilla. ^[1] Termin kanssa samantapainen termi on positiivisesti definiitti symmetrinen bilineaarinen muoto (eli seskvilineaarinen muoto, kompleksimatriisien tapauksessa).

Olkoon ${\displaystyle M}$ kokoa ${\displaystyle n\times n}$ oleva hermiittinen matriisi. Seuraavassa merkitään matriisin tai vektorin ${\displaystyle A}$ transpoosia ${\displaystyle A^{T}}$:llä ja konjugaattista transpoosia ${\displaystyle A^{*}}$:llä. Matriisin ${\displaystyle M}$ sanotaan olevan positiivisesti definiitti, jos sillä on yksikin (ja siten kaikki) seuraavista yhtäpitävistä ominaisuuksista:

1.	Kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ on voimassa ${\displaystyle {\textbf {z}}^{*}M{\textbf {z}}>0}$. Huomaa, että ${\displaystyle z^{*}Mz}$ on aina reaalinen.
2.	Kaikki ${\displaystyle M}$:n ominaisarvot ovat positiivisia. (Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.)
3.	Muoto ${\displaystyle \langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}}$ määrittää sisätulon ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:ssä. (Itse asiassa jokainen ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$:n sisätulo muodostaa hermiittisen positiivisesti semidefiniitin matriisin.)
4.	Sylvesterin kriteerio: Kaikilla ${\displaystyle 0<m\leq n}$ matriisin ${\displaystyle M}$ vasemmasta yläkulmasta alkaen muodostettujen ${\displaystyle m\times m}$-matriisien determinantti on positiivinen.

Analogiset väitteet ovat voimassa, jos ${\displaystyle M}$ on reaalinen symmetrinen matriisi korvaamalla ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:llä ja konjugaattinen transpoosi transpoosilla.