Nagelin piste

Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella ${\displaystyle \scriptstyle X_{8}}$. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään Nagelin piste.^[1] Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.^[2]

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.^[3]

Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

${\displaystyle {\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}=\csc ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\csc ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\csc ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}$.^[1]

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

${\displaystyle (-a+b+c):(a-b+c):(a+b-c)=(s-a):(s-b):(s-c)=\cot {\frac {\alpha }{2}}\,:\,\cot {\frac {\beta }{2}}\,:\,\cot {\frac {\gamma }{2}},}$ ^[1][4]

Todistetaan, että kolmion ${\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC}$ mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun ${\displaystyle \scriptstyle AC}$ tangenttipiste on ${\displaystyle \scriptstyle A_{v}}$ ja sivun ${\displaystyle \scriptstyle AB}$ tangenttipiste on ${\displaystyle \scriptstyle A_{o}}$. Nyt janojen ${\displaystyle \scriptstyle AA_{v}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle AA_{o}}$ pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan ${\displaystyle \scriptstyle |AA_{v}|=|AA_{o}|}$.

Merkitään kärjen ${\displaystyle \scriptstyle A}$ vastaisen sivun ${\displaystyle \scriptstyle BC}$ tangenttipistettä ${\displaystyle \scriptstyle A'}$ ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken ${\displaystyle \scriptstyle A}$ kannalta. Kärjen ${\displaystyle \scriptstyle A}$ vasemman sivulla kärjessä ${\displaystyle \scriptstyle C}$ risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on ${\displaystyle \scriptstyle |CAv|=|CA'|}$ (1). Vastaava tilanne on pisteessä ${\displaystyle \scriptstyle B}$, jossa ${\displaystyle \scriptstyle |BAo|=|BA'|}$ (2). Kun jana ${\displaystyle \scriptstyle AA_{v}}$ kirjoitetaan pisteen ${\displaystyle \scriptstyle C}$ avulla murtoviivana ${\displaystyle \scriptstyle ACA_{v}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle AA_{o}}$ vastaavasti ${\displaystyle \scriptstyle ABA_{o}}$, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa ${\displaystyle \scriptstyle |AAv|=|ACAv|=|ACA'|}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle |AAo|=|ABAo|=|ABA'|}$.

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä ${\displaystyle \scriptstyle A}$ on vastaiselle sivulle pisteeseen ${\displaystyle \scriptstyle A'}$ yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen ${\displaystyle \scriptstyle B}$ tai ${\displaystyle \scriptstyle C}$ kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien ${\displaystyle \scriptstyle B}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle C}$ osalta, jolloin pisteet ${\displaystyle \scriptstyle B'}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle C'}$ ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat ${\displaystyle \scriptstyle AA_{v},\,AA_{o},\,BB_{v},\,BB_{o},\,CC_{v}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle CC_{o}}$.

Edelleen, kun esimerkiksi suoran ${\displaystyle \scriptstyle AB}$ janat ${\displaystyle \scriptstyle AA_{o}}$ eli ${\displaystyle \scriptstyle ABA_{o}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle BB_{v}}$ eli ${\displaystyle \scriptstyle BAB_{v}}$ sisältävät yhteisen osan ${\displaystyle \scriptstyle AB}$, ovat myös päät ${\displaystyle \scriptstyle BA_{o}}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle AB_{v}}$ yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa

• ${\displaystyle \scriptstyle |AB_{v}|=|AB'|=|BA_{o}|=|BA'|}$, koska ${\displaystyle \scriptstyle |ABAo|=|BABv|}$, ja
• ${\displaystyle \scriptstyle |CA_{v}|=|CA'|=|AC_{o}|=|AC'|}$, koska ${\displaystyle \scriptstyle |CACo|=|ACAv|}$ , ja vielä
• ${\displaystyle \scriptstyle |BC_{v}|=|BC'|=|CB_{o}|=|CB'|}$, koska ${\displaystyle \scriptstyle |BCBo|=|CBCv|}$.

Cevan lausetta mukaellen

${\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {AC'}{\cancel {CB'}}}\cdot {\frac {BA'}{AC'}}\cdot {\frac {\cancel {CB'}}{BA'}}={\frac {\cancel {AC'}}{1}}\cdot {\frac {\cancel {BA'}}{\cancel {AC'}}}\cdot {\frac {1}{\cancel {BA'}}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1.}$

Cevan lauseen mukaan janat ${\displaystyle \scriptstyle AA'}$, ${\displaystyle \scriptstyle BB'}$ ja ${\displaystyle \scriptstyle CC'}$ ovat konkurrentit.^[2]

• Ballew, Pat: Nagel Points and Nagel Line (Arkistoitu – Internet Archive)
• Kimberling, Clark: Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) geometer, educator