Metriikka (matematiikka)

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. Tarkennus: määritelmää lukuun ottamatta lähteetön

Metriikka eli etäisyysfunktio kertoo joukon pisteiden välisen etäisyyden ja tekee joukosta metrisen avaruuden.^[1]

Joukon ${\displaystyle A}$ metriikka on funktio ${\displaystyle d:A\times A\to \mathbf {R} }$, joka kaikilla joukon ${\displaystyle A}$ alkioilla ${\displaystyle x,y}$ toteuttaa ehdot

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0}$ jos ja vain jos ${\displaystyle x=y}$
3. ${\displaystyle d(y,x)=d(x,y)}$ (symmetrisyys)
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (kolmioepäyhtälö).

Joukon pisteitä merkitään tässä ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ ja ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$.

• Tavallinen euklidinen etäisyys tasossa: ${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}}$.
• "Manhattan-etäisyys" ${\displaystyle \vert x_{1}-x_{2}\vert +\vert y_{1}-y_{2}\vert }$. Nimi tulee ajoreitistä kaupungissa, jossa on neliön muotoisia kortteleita.
• Tšebyšovin etäisyys ${\displaystyle max(\vert x_{1}-x_{2}\vert ,\vert y_{1}-y_{2}\vert )}$.
• Yleisemmin kun ${\displaystyle p}$ on reaaliluku ja vähintään 1, on ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\vert x_{1}-x_{2}\vert ^{p}+\vert y_{1}-y_{2}\vert ^{p}}}}$ metriikka; euklidinen etäisyys on tämän erikoistapaus ${\displaystyle p=2}$, Manhattan-etäisyys erikoistapaus ${\displaystyle p=1}$ ja Tšebyšovin etäisyys eräänlainen raja-arvo äärettömyydessä.

• Kaikki edellisen kohdan esimerkit yleistyvät kolmiulotteiseen tilaan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ja edelleen mihin tahansa avaruuteen ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Merkkijonoille on määritelty Levenšteinin etäisyys.

• "Nopeimman reitin vaatima aika kävellen" on usein lähestulkoon etäisyysfunktio.
  • Autolla kaupungissa sama ei aina päde, koska yksisuuntaiset kadut rikkovat symmetrian.
• Vaalien ehdokkaiden vaalikoneisiin antamien vastausten perusteella voidaan määritellä kahden ehdokkaan vaalilupausten ja aatteellisten erojen etäisyys sillä perusteella, moneenko kysymykseen ehdokkaat vastasivat eri tavalla.
  • Varsinaisesti tällöin lasketaan kahden mahdollisen vastausrivin etäisyys. Toinen ehto ei toteutuisi, jos kaksi ehdokasta vastaisi täysin samoin ja mitattaisiin nimenomaan ehdokkaiden etäisyyttä.^selvennä

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.