Kollineaarisuus

Kollineaarisuus tarkoittaa geometriassa pistejoukon sitä ominaisuutta, että sen pisteet sijaitsevat kaikki samalla suoralla. Tasogeometriassa kaksi pistettä ovat itsestään selvästi kollineaarisia, sillä kahden pisteen avulla voidaan määrittää suora. Myös suoran omat pisteet ovat itsestään selvästi kollineaarisia.^[1] Pistejoukko on epäkollineaarinen, jos kaikki pisteet eivät ole yhteisellä suoralla.^[2]

Yhteisellä suoralla olevat pisteet ${\displaystyle \scriptstyle P_{1},P_{2},...,P_{n},\ n\geq 2}$ ovat kollineaariset. Tämä voidaan merkitä lyhyesti ${\displaystyle \scriptstyle l(P_{1},P_{2},...,P_{n}).}$ ^[3]

Kolme pistettä, tai enemmän, sijaitsevat samalla suoralla vain erityistapauksissa ja kollineaarisuuden voi selvittää eri tavoin.

Kolmas piste ${\displaystyle x_{1}}$ sijaitsee samalla suoralla pisteiden ${\displaystyle x_{2}}$ ja ${\displaystyle x_{3}}$ kanssa, jos

${\displaystyle x_{2}-x_{1}:y_{2}-y_{1}:z_{2}-z_{1}=x_{3}-x_{1}:y_{3}-y_{1}:z_{3}-z_{1}.}$ ^[1]

Kolme pistettä muodostavat kolmion, jos ne eivät ole kolineaarisia, muuten ne muodostavat suoran. Kolmen pisteen muodostaman kolmion pinta-ala on nolla, jos kolmion kärkinä olevat pisteet ovat kollineaariset. Pinta-ala voidaan laskea determinantin avulla

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0}$ ^[1]

tai evaluoidussa muodossa

${\displaystyle x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})=0.}$ ^[1]

Kolmas piste on kahden muun kanssa kollineaarinen, jos kolmannen pisteen etäisyys suorasta, jonka kaksi muuta pistettä määrittävät, on nolla. Pisteiden paikkavektoreiden ${\displaystyle {\bar {v}}_{i}}$ avulla voidaan ristitulolla laskea pisteen ${\displaystyle P_{1}}$ etäisyys suorasta ja merkitä se nollaksi:

${\displaystyle d={\frac {|({\bar {v}}_{2}-{\bar {v}}_{1})\times ({\bar {v}}_{3}-{\bar {v}}_{1})|}{|{\bar {v}}_{2}-{\bar {v}}_{1}|}}=0\Leftrightarrow |({\bar {v}}_{2}-{\bar {v}}_{1})\times ({\bar {v}}_{3}-{\bar {v}}_{1})|=0}$ ^[1]

Menelauksen lause: Pisteet R, S, T ovat kolmion ABC sivusuorilla ja ne ovat kollineaariset jos ja vain jos suunnatuilla janoilla

${\displaystyle {\frac {AR}{RB}}\cdot {\frac {BS}{SC}}\cdot {\frac {CT}{TA}}=-1}$ ^[4]

Menelauksen lauseessa voivat kaikki kolme pistettä olla kolmion sivusuorilla. Piste on kolmion sivusuoralla, jolloin se voi olla kolmion sivulla tai sivun jatkeella.^[5]

Jos ${\displaystyle A,B}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat kollineaarisia, ${\displaystyle P}$ ei ole näiden pisteiden kautta kulkevalla suoralla ja ${\displaystyle A',B'}$ ja ${\displaystyle C'}$ ovat mielivaltaisia pisteitä suorilla ${\displaystyle PA,PB}$ ja ${\displaystyle PC}$, niin ${\displaystyle A',B'}$ ja ${\displaystyle C'}$ ovat kollineaarisia jos ja vain jos ${\displaystyle BC\cdot {\frac {AP}{A'P}}+CA\cdot {\frac {BP}{B'P}}+AB\cdot {\frac {CP}{C'P}}=0}$, missä pituudet ovat suunnatut.^[6]

Yleisen kolmion keskijanojen leikkauspiste (painopiste), kolmion kulmanpuolittajien leikkauspiste, keskinormaalien leikkauspiste, korkeusjanojen leikkauspiste (ortokeskus) ja kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste ovat kollineaariset. Suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.^[7][8]

• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 5.4.2013.