Eksakti differentiaali tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa , jolle löytyy jokin funktio f siten että:
- .
Toisin sanoen on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli .
Differentiaali on aina eksakti. [1]
Tämä on seurausta, koska differentiaalille df on voimassa
on ja .
Koska , on oltava .
Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio f integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.
Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt
voidaan kirjoittaa muodossa . Jos on eksakti, eli on funktio f, jolle , on tällöin ja ratkaisu siten , missä on vakio.
Integrointitekijät
Funktiota kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta eksaktin, eli
on eksakti. Tällöin on oltava
josta
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa saamme
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään x:n funktio. Samoin integrointitekijälle
jos oikea puoli on vain y:n funktio.
Katso myös
Lähteet
- ↑ Weisstein, Eric W.: "Exact Differential" From MathWorld – A Wolfram Web Resource mathworld.wolfram.com. Viitattu 8.7.2019.
Kirjallisuutta
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).