Derivaattaryhmä

Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee abstraktissa algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa ${\displaystyle x^{-1}y^{-1}xy}$ olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.^[1]

Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja ${\displaystyle [G,G]}$. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]^-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}y_{i}^{-1}x_{i}y_{i}}$, missä ${\displaystyle n\geq 1}$ ja ${\displaystyle x_{i},y_{i}\in G}$ kaikilla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin ${\displaystyle f:G\rightarrow G_{1}}$ ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

${\displaystyle G'\leq H\leq G\quad \Leftrightarrow \quad H\triangleleft G}$ ja tekijäryhmä ${\displaystyle G/H}$ on Abelin ryhmä.

Tämän perusteella ${\displaystyle G'\triangleleft G}$ ja ${\displaystyle G/G'}$ on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.^[1]

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä ${\displaystyle G''}$ on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G^(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G^(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.^[2]

Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono ${\displaystyle G\triangleright G'\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots }$. Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa ${\displaystyle G^{(n)}=G^{(n+1)}=}$ ···. Jos tällöin ${\displaystyle G^{(n)}=\{1\}}$, sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.^[3]

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)