Cesàron yhteenlasku

Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä Cesàron summakaava.

Cesàron yhteenlasku on nimetty italialaisen analyytikon Ernesto Cesàron (1859–1906) mukaan .

Olkoon {a_n} sarja ja olkoon

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$,

sarjan

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$ k:s osasumma.

Sarjaa {a_n} kutsutaan Cesàro-summautuvaksi, jos Cesàron summa ${\displaystyle A\in \mathbb {R} }$, jos sen keskiarvo osasummista ${\displaystyle s_{k}}$ lähenee ${\displaystyle A}$:ta:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

Toisin sanoen siis äärettömän sarjan Cesàro-summa on sarjan ensimmäisten osasummien 1, ..., n aritmeettisen keskiarvon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä.

Olkoon a_n = (−1)ⁿ⁺¹, kun n ≥ 1. {a_n} on lukujono

${\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots .\,}$

Merkitään sarjaa ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }$ G:llä.

Näin ollen lukujonon osasumma {s_n} ${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ on

${\displaystyle 1,0,1,0,\ldots ,\,}$

Nähdään, että sarja G, (joka tunnetaan myös Grandin sarjana), ei suppene.

Toisaalta sarjan {s_n} keskiarvojen muodostaman sarjan {t_n}

Toisaalta sarjan {sn} keskisarjan {t_n} termit

${\displaystyle t_{n}={\sum _{k=1}^{n}s_{k} \over n}}$ termejä ovat

${\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots ,}$

joten

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2.}$

Tällöin Cesàron summa sarjalle G on 1/2.

Englanninkielinen Wikipedia