Bolzanoren teorema

Bolzanoren teorema kalkuluko batezbesteko balioaren teoremaren kasu konkretu bat adierazten duen teorema bat da. Bernard Bolzanok proposatu zuen 1817an.

Teorema

Izan bedi $f$ funtzioa $[a,b]$ tartean jarraitua. Baldin eta $f(a)$ eta $f(b)$ balioen zeinuak desberdinak badira, orduan existitzen da $x_{0}\in [a,b]:f(x_{0})=0$ den.

Edo errazago esanda, funtzio bat jarraitua den tarte batean positibotik negatibora (edo kontrara) badoa zerotik pasatzen da.

Froga

Kontsideratuko dugu $f(a)>0$ eta $f(b)<0$ direla eta izan bedi $I1=[a,b]$ tartea. Kontsidera dezagun tarte honen erdiko puntua, ${a+b} \over 2$ .

$f({\frac {a+b}{2}})=0$ bada, $x_{0}={\frac {a+b}{2}}$ izango da, beraz, frogatuta geratzen da.

$f({\frac {a+b}{2}})>0$ bada, izan bitez $a_{2}={\frac {a+b}{2}}$ eta $b_{2}=b$ .

$f({\frac {a+b}{2}})<0$ bada, izan bitez $a_{2}=a$ eta $b_{2}={\frac {a+b}{2}}$ .

$I_{2}=[a_{2},b_{2}]$ tartearekin prozesua errepikatuz $I_{3}$ tartea lortuko dugu, eta hainbat aldiz errepikatuz $I_{n}$ tarteen familia non $|I_{n}|=a_{n}-b_{n}={\frac {b-a}{2^{n-1}}}$ . Beraz, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=x_{0}$ .

$f$ jarraitua dela kontsideratuko dugunez, $f(x_{0})=lim_{n\to \infty }f(a_{n})\geq 0$ eta $f(x_{0})=lim_{n\to \infty }f(b_{n})\leq 0$ .

Beraz, $f(x_{0})=0$ , eta Bolzanoren teorema demostratuta geratzen da.

Adierazpen grafikoa

Irudi honetan ikus dezakegun bezala, teoremaren baldintza guztiak betetzen dira, hau da, $f(a)>0$ eta $f(b)<0$ dira eta funtzioa jarraia da $[a,b]$ tartean. Beraz, ikusi dezakegunez, badago $c=x_{0}$ non $f(x_{0})=0$ den.