Teorema del valor medio de Cauchy
Se ha propuesto fusionar este artículo o sección con «teorema del valor medio», pero otros wikipedistas no han alcanzado consenso sobre este asunto. Para más información, véase la discusión. Lee la página de discusión de ambos artículos y aporta tus razones antes de proceder, respetando las normas de civismo en páginas de discusión. Uso de esta plantilla: {{sust:Fusionar|Nombre de hasta otros veinte artículos para fusionar separados por "|"}} |
En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones o .
Enunciado
El teorema, aparecido en su Cours d’Analyse (1821),[1] se enuncia de la siguiente manera:
|
Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.
Demostración
- Sea G(x) una función definida como:
- donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.
- Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:
- y sabiendo que G'(c) es 0
- de donde se deduce que
- Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:
Q.E.D.
Consecuencias
El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:
muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de o .
Referencias
- ↑ Nicolas Bourbaki, Éléments d'histoire des mathématiques, p. 193.
- Trott, Michael. «Mean Value Theorem». The Wolfram Demonstrations Project (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio de Cauchy». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Datos: Q3325219